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本帖最后由 lili456 于 2012-5-28 11:31 编辑
- q5 Y9 k8 v& t3 Q3 P2 e/ ^' |6 P/ f( z' }5 K# l
5.1.3 多项式乘法和除法
4 o) C8 \5 h5 L$ J2 f3 L在MATLAB中,使用函数conv()对多项式进行乘法运算。其调用格式为c=conv(a, b),a和b为多项式的系数向量,该函数实现向量a和b的卷积,在代数上相当于多项式a乘以多项式b,其中c为相乘所产生的多项式的系数向量。
6 r1 [$ `7 P `' e6 |9 e【例5-6】 求多项式 和 的乘积。采用函数conv()实现,其MATLAB程序如下:
0 z. U- e) x% u, K+ G6 \, j
$ W) ^/ N4 K" ~1 Up1=[4 2 0 5]; %缺少的幂次用0补齐
$ M" D9 Y$ ^$ |* _4 D" g% P7 up2=[5 8 1];
7 z: L% O: H$ }; Ny1=poly2sym(p1)
: }9 p7 F7 z: K. ]y2=poly2sym(p2)- c* s+ w6 Q7 X. W5 ~" E
p3=conv(p1,p2); %多项式相乘
0 P/ ~& Q, s ~2 Ey=poly2sym(p3)
- B5 O. [4 s2 T4 ?8 g, c. S
9 ]1 m2 D( |4 {( r, L运行程序后,输出结果如下:
0 k6 z/ d7 \) ?0 t, [
. I' ~8 F8 _: }8 q2 [6 I& py1 =& Q$ ~/ M, Q5 m! v
4*x^3+2*x^2+5
- r% u/ e0 {. X' ?/ p1 ey2 =, p: c! n; {) {
5*x^2+8*x+1- e; b" T+ U7 }/ g' ~3 I0 ~, \
y =# ~, s W/ t0 ^! _% S# L& E6 ?: J1 k
20*x^5+42*x^4+20*x^3+27*x^2+40*x+5
/ P) w1 ^4 \$ {+ s0 s( j* C: Z
3 t7 D& y% `+ M在MATLAB中,采用poly2sym()函数将向量作为多项式的系数进行输出,和其相对应的函数是sym2poly(),该函数将输入多项式的系数提取出来,作为向量进行输出。对于例5-6程序也可以用poly2sym()函数实现(和例5-6的计算结果相同),其MATLAB程序如下:
1 l0 a g L- m
( p: f3 X5 R/ P- U5 q>> syms x
- T/ f% H# u2 s4 {, ~; |p1=sym2poly(4*x^3+2*x^2+5)
' U; u5 ]: d( N0 ep2=sym2poly(5*x^2+8*x+1); F! B1 X3 g# E, e7 f5 L
p3=conv(p1,p2); %多项式相乘& K* i+ o. Z1 i' T
y=poly2sym(p3)
& R. o9 Y) E: U: d2 P
# p) M- X2 v$ G- M ~运行程序后,输出结果如下:; |& N+ m0 ]+ q, N; b3 ]/ ^
9 G. |& Y b4 x' U% k# b
p1 =9 x! x" _& n% I
4 2 0 5
/ r: N$ i" X$ F; P0 s) c1 Mp2 =2 a1 k- X U. ]: b) q
5 8 1
4 A5 q3 l/ K/ ty =
3 y% k! O" y+ ]; G7 I20*x^5+42*x^4+20*x^3+27*x^2+40*x+5
8 I$ {2 ^8 ?- F. T
( j; W9 g S. j2 W" Z* ~在MATLAB中,使用函数deconv()对多项式进行除法运算。其调用格式为[q, r] = deconv(a, b),实现解卷积运算。其中a和b为多项式的系数向量,在代数上相当于多项式a除以b,得到的商为q和余多项式r,它们之间的关系为a = conv(b, q) + r。$ R+ V6 n* C8 a
【例5-7】 求多项式 除以多项式 的商和余数,代码如下:$ v. q! Z$ Z2 ~4 w9 D- S6 f) p( F
+ K6 Z! T# i' {7 [0 `8 N>> p1=[4 3 8 1 4];
( a. Z% i9 A3 z9 F$ W0 d( t2 pp2=[2 3 1];
- n. v! H: x. M* o( w% }5 W[q,r]=deconv(p1,p2); %多项式p1除以p29 N; n8 V" \1 H1 \: c7 ~
y1=poly2sym(q) %商
0 j" b0 H- |' X2 x: R' Ny2=poly2sym(r) %余数
1 y. R! O( Y. _% D5 i( u5 B( b% {: {! v4 O( E, m2 n5 `
运行程序后,输出结果如下:
5 S4 K8 ]* h1 ~8 a4 @5 c ~( ~' O+ s( P
y1 =
* J5 S2 X" j: t9 u% l2*x^2-3/2*x+21/4
; z3 a- x) V D% u2 @4 b: Ay2 =
9 I# U5 n0 j: H3 o-53/4*x-5/4
$ T( P4 P% k* r+ R p
& f7 Y3 x- @; C5 b- b, t. a- @9 @5.1.4 多项式的导数和积分; V2 `0 |6 N$ E$ J% T2 v; S" o7 b
在MATLAB中,通过函数polyder()和polyint()分别对多项式进行求导和积分。求导和积分互为逆运算,如果先对多项式进行积分,然后再求导,结果仍然为原来的多项式。下面对多项式的求导和积分分别进行讲解。
$ H6 c- p6 ^# i' ]3 a, X! c, G1.多项式的导数
]# o, @9 O9 M6 J9 \- Q在MATLAB中,采用函数polyder()进行多项式的求导,调用方式如下。
$ A2 v1 `0 @" |6 C6 y+ E$ H; B; z y=polyder(p):对以向量p为系数的多项式求导。) F9 q8 U: d7 e- s
y=polyder(a, b):对以a和b为系数的多项式乘积进行求导。
8 M0 ] Z6 d4 W9 V [q,d]=polyder(b, a):返回以b为系数的多项式除以以a为系数的多项式的商的导数,并以q/d格式表示。3 e5 k) C& U# e$ c, m# i) m
【例5-8】 对多项式求导,其MATLAB程序如下:
0 a: e# k# P* u9 [
5 f9 g! F( }# L* S* P8 `/ I>> p1=[4 3 2];/ Z# E! \% b* S8 x
p2=[2 2 1];/ Q0 G" b4 w1 F0 e8 S
y1=polyder(p1); %对多项式p1求导
; X: E5 n5 J: q# S( q/ ~: \y1=poly2sym(y1)
9 b n1 i& B- Q( Gy2=polyder(p1,p2); %对多项式p1和p2的乘积求导# N6 {7 Z/ A, d" Y
y2=poly2sym(y2)! q4 l; A/ I9 R
[q,d]=polyder(p1,p2); %对多项式p1除以p2的商求导+ ^/ v% r7 U+ y2 J; W
q=poly2sym(q)/ s' X4 Q" k" F. x
d=poly2sym(d)
: M7 k$ v. O- h7 ]+ j- d
/ h; i4 A- w) p2 f( a( h( D. K运行程序后,输出结果如下:5 y; l! ~* u$ @0 p
& c# G- A# q( F L0 I
y1 =
% L0 O0 L0 F; _9 Q9 l- S& f8*x + 3
# R- _5 o' v& k# ` k4 L+ Dy2 =" p4 R. d; X; P% s7 @) H( a
32*x^3 + 42*x^2 + 28*x + 7! W7 p; a! v2 v- p4 j8 g& k/ T/ {
q =6 `; c* Z0 D$ w7 S4 j- Q
2*x^2 - 1; P) ]- f& ?" L( b
d =
) M( B; ]( k0 W+ J) A" g4*x^4 + 8*x^3 + 8*x^2 + 4*x + 13 S( y' {% Y1 R J
% P# G, J+ t9 R- N
在MATLAB中,通过函数polyder()对多项式进行求导,通过对输入参数和输出参数个数的不同,对相对应的多项式进行求导计算。对于函数[q,d]=polyder(b, a),相当于对多项式 求导,结果为 。
. W$ J) J E3 M9 `4 p2.多项式的积分
; `0 y! ]) x3 a: e1 M在MATLAB中,使用函数polyint()对多项式进行积分运算,其调用方式如下。
* o9 m" p7 b6 O5 }/ u4 u5 r polyint(p, k):返回以向量p为系数的多项式的积分,积分的常数项为k。5 L. [7 T8 k+ H
polyint(p):返回以向量p为系数的多项式的积分,积分的常数项为默认值0。+ k" n& ?% v( I9 G
【例5-9】 对多项式 进行积分运算,其常数项分别为3和0,其实现的MATLAB程序代码如下:2 N; t J1 q. g0 X
L/ v( ]7 ?" Z& W6 I3 ip1=[3 2 2];
7 q# X& ]# o1 N7 d9 E xy1=polyint(p1,3); %对多项式p1进行积分,常数项为3- E# r0 ~' T" _# g
y1=poly2sym(y1)0 Q, d6 y+ S4 Q% v4 P
y2=polyint(p1); %对多项式p1进行积分,常数项为04 ] j8 O, z% [9 h$ a# [- N4 e
y2=poly2sym(y2)3 i6 V1 m4 V$ Q& r
0 I- H* h* L4 m0 U9 h1 [运行程序后,输出结果如下:
; _8 _1 a, g# i$ n) k. N( h
K5 X) P: H' W& c; e1 L5 wy1 =
) w6 j' k: _" t8 ~* C1 xx^3 + x^2 + 2*x + 3, D$ w% f' p \7 _* h6 b% H* ?
y2 =
/ E0 m2 p7 j5 ?! u/ j% Kx^3 + x^2 + 2*x9 P/ G, X! t( x1 r
; u, K7 T6 s2 n) }1 L7 R6 C( [9 \通过polyint()函数对多项式进行积分运算,积分的常数项通过参数k进行设置。如果不对参数k进行设置,则k取默认值0。
3 G3 f0 d+ G# z' a6 y+ V I5.1.5 多项式展开
/ ^' m' U! d4 t3 z在MATLAB中,有理多项式用它们的分子多项式和分母多项式进行表示,函数residue()可以将多项式之比用部分分式展开,也可以将一个部分分式用多项式之比进行表示。函数residue()的调用方式如下。
8 b/ }0 S4 p. `, H& ^7 ^6 | [r, p, k]=residue(b, a):求多项式之比b/a的部分分式展开,函数的返回值r是余数,p是部分分式的极点,k是常数项。如果多项式a没有重根,部分分式展开的形式如下:
% _( }1 D: L3 F* I% p
- n: a& |# `$ C9 N X/ I其中向量r、p的长度和向量a、b的长度有如下关系:
" r1 S8 y) `: X 9 a! Q% r, e' k7 K( {# ]* y9 i
当向量b的长度小于a时,向量k中没有元素,否则应满足:
, S9 ~9 G$ M6 v8 G5 m
) P: m$ W1 M1 \: K n) _' W/ @ [b, a]=residue(r, p, k):通过部分分式得到多项式,该多项式的形式为b/a。3 z9 ?% C3 s: C2 d8 ^ t+ z7 v( V
【例5-10】 将多项式 和 展开成几个简单多项式的和。其实现的MATLAB代码如下:
8 V- v& k: ?; y7 {% R) f! f3 w2 ^7 m6 y: h5 j
>> clear all;. m" T6 G: M, H' @( _ P Z [) ]1 z
clear all;2 w% f1 l9 q2 D% n: I6 V; n
b=[1 -1 -7 -1]; %分子多项式* @& v$ h; x# I8 m: ^! a+ C7 ^
a=poly([1;5;6]); %分母多项式
|6 D: {# B( a[r,p,k]=residue(b,a) %进行多项式b/a展开
6 ` J, R; K* U- F6 M) V9 a8 M[b1,a1]=residue(r,p,k); %通过余数、极点和常数项来求多项式b1/a1; c$ _* q1 p; f; _
b1=poly2sym(b1)
/ M0 [- n5 { X7 J) Da1=poly2sym(a1)& x/ Q0 d- \4 Y$ x7 ^6 m/ j( E
b=[1 -1 -7 -1]; %多项式a有三重根 J8 o. E/ B7 d) h; b6 Z# o
a=poly([1;1;1]); %分母多项式/ C' U1 g1 f* l- v; y$ Q
[r,p,k]=residue(b,a) %展开多项式b/a # B, `4 Y4 w5 i) I
9 i5 o, F- m/ k6 x运行程序后,输出结果如下:
7 T$ e! `/ K/ V- D8 w* J: C! F6 E R4 ?" s
r =9 n) `7 n- f9 i" m( l
27.4000
3 a2 e) [ `$ R( ~ -16.0000
" `( i! C. N* B4 ]( m V4 ]% @ -0.4000
4 T; O4 U: X# Jp =
1 G$ Z g C, j* J' B: r 6.00004 M- O4 f8 H7 }7 V4 a: z- Y$ ~& [
5.00000 r k, Z n' E% i
1.00000 I9 L9 b/ C! C8 g% M0 T( [0 T
k =
Z' f' L @& p; P9 T' c9 [ 1, t" w! E, q6 s" A T# C
b1 =
6 S$ A% G- k# Q* w0 D- [x^3 - x^2 - 7*x - 10 _* |9 H$ [' a J
a1 =
4 N' V& ^) g; l; `, Tx^3 - 12*x^2 + 41*x - 300 N H# I* P. T: l9 D/ F9 H; |
r =2 W2 `8 ^2 g9 H+ H9 w
2.0000) H8 F8 l; T$ O0 w1 \7 ^8 {/ S
-6.0000; ^2 u3 h6 |" h! m
-8.0000 M3 @7 U6 g$ p p5 U1 P
p =
7 b- d% o, S( b 1.0000
2 K" P9 T9 V k x 1.0000' q) m" w$ y( w, i) L* k
1.0000
# M- o- b$ j2 V' Y. m" Bk =
2 X. v) @9 Y" ^ 1
* f/ E1 b' s5 ? }4 y+ b4 b2 \4 D1 a) O/ p3 Y3 E
利用函数[r, p, k]=residue(b, a)将多项式b/a进行展开,结果为余数、极点和常数项。对该多项式进行展开后的结果如下:
6 k7 n b+ r/ A B7 Q6 D 将余数、极点和常数项带入函数[b, a]=residue(r, p, k)中,可以求得对应的多项式,并通过b/a的形式给出。
$ }7 d! I' _0 b当多项式a有三重根1时,对多项式进行展开后的结果如下:
, Y( J, I( v- v5 d$ M# ~* D9 Z( d8 e( @: o, r: q* Q
3 F% X- `2 J1 W
" y7 B# j. V7 N0 H t
( Y: O, c7 U6 W `
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