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本帖最后由 lili456 于 2012-5-28 11:31 编辑
! A! ]1 L2 B# N/ d* ^0 D
: i x3 i, _5 Q" i3 }5.1.3 多项式乘法和除法 p0 C# p. P6 y6 i
在MATLAB中,使用函数conv()对多项式进行乘法运算。其调用格式为c=conv(a, b),a和b为多项式的系数向量,该函数实现向量a和b的卷积,在代数上相当于多项式a乘以多项式b,其中c为相乘所产生的多项式的系数向量。" U$ K" W& u; I( b1 E- U1 N. a# `
【例5-6】 求多项式 和 的乘积。采用函数conv()实现,其MATLAB程序如下:: F6 ?4 r5 a2 ] K
u2 R, R% N! `+ W8 ]- r
p1=[4 2 0 5]; %缺少的幂次用0补齐
% `' ?+ E7 a' y$ S) Q! Cp2=[5 8 1];
+ ?9 a; a7 ~+ |! g$ X4 Qy1=poly2sym(p1)
- R* |4 H& k6 Y8 by2=poly2sym(p2)
4 g R R2 {9 B6 V }p3=conv(p1,p2); %多项式相乘# j% U, O, Y7 A1 p0 s3 f
y=poly2sym(p3)! Y$ N) d. q" e
$ ?, C0 k0 d0 z3 `1 y8 S" \3 l& e$ S
运行程序后,输出结果如下:
& b% L& X! |3 v7 k5 l; n2 @0 e1 o( c+ W/ H: Y
y1 =- A. p# p0 E" n* ]% e
4*x^3+2*x^2+5
3 _5 Y6 t$ H9 \3 e% F. F7 ~1 by2 =& u" K. f7 A% l m" e
5*x^2+8*x+1
* v: I" q% j. D$ wy =) b t. u; X) U' R9 D
20*x^5+42*x^4+20*x^3+27*x^2+40*x+5' L9 C6 p% E% h7 ^/ x4 w! b
, P2 }$ F+ x# c |8 ?4 C. x
在MATLAB中,采用poly2sym()函数将向量作为多项式的系数进行输出,和其相对应的函数是sym2poly(),该函数将输入多项式的系数提取出来,作为向量进行输出。对于例5-6程序也可以用poly2sym()函数实现(和例5-6的计算结果相同),其MATLAB程序如下:
8 Y }$ L# {' \0 _: a p: c5 S2 ?; `5 I
>> syms x
0 r) S+ o- e1 Ep1=sym2poly(4*x^3+2*x^2+5)# H6 |2 S) L. \8 L2 Y
p2=sym2poly(5*x^2+8*x+1)1 [. k3 _7 T9 ^+ L8 G3 p ~; C
p3=conv(p1,p2); %多项式相乘
* V& n+ L0 Z x& \1 D7 H2 M+ m- Z* Fy=poly2sym(p3)3 k, U7 V Y7 I$ M3 y
7 Z; l L1 Q% v9 f# O" a' O
运行程序后,输出结果如下:3 Z7 ^+ b2 g% J9 F, k t, Y
L5 j; [4 h0 J
p1 =% U6 p2 g7 l( R" ?
4 2 0 5# h/ [6 [3 h7 ^1 }9 m6 H6 k
p2 =
" w- }1 w$ ?! H; e# v 5 8 14 q2 c, Z' b8 P& |! Z
y =
% E! n1 _ n& V2 G w( X7 j20*x^5+42*x^4+20*x^3+27*x^2+40*x+51 L% J3 { t Q3 B
3 g& y7 Q( f4 `0 J5 G; G2 e3 a% A在MATLAB中,使用函数deconv()对多项式进行除法运算。其调用格式为[q, r] = deconv(a, b),实现解卷积运算。其中a和b为多项式的系数向量,在代数上相当于多项式a除以b,得到的商为q和余多项式r,它们之间的关系为a = conv(b, q) + r。
1 l) B8 v& ]0 x" a* M! U; Z% n" [: m【例5-7】 求多项式 除以多项式 的商和余数,代码如下:
2 D9 @0 I M" g; {
4 p% X9 t+ m: i5 G>> p1=[4 3 8 1 4];& g9 i/ F& \" S4 m6 w8 ?
p2=[2 3 1];! A9 G; O5 s' n. ]3 u5 B
[q,r]=deconv(p1,p2); %多项式p1除以p2
q5 d3 h7 U6 c$ N0 oy1=poly2sym(q) %商
" E+ s' I+ ]0 g0 K* A0 yy2=poly2sym(r) %余数
P5 H9 o0 e4 v F3 w) ]; U4 k+ K- w4 O, o# S* K# v0 `( b, `
运行程序后,输出结果如下:3 @: l: Q# Z' M
) G6 ~* J6 a7 Y5 H8 T5 u$ h
y1 =3 A, R$ g/ j; ` q+ U) R: a
2*x^2-3/2*x+21/4
7 }( J$ s( T N7 Py2 =
) M1 |2 Z+ K: H% M-53/4*x-5/4
8 Q. q$ r0 X y! ?4 d
3 w3 x$ p3 X# k5.1.4 多项式的导数和积分 b0 x. A6 H2 I' l& |5 h& T$ G
在MATLAB中,通过函数polyder()和polyint()分别对多项式进行求导和积分。求导和积分互为逆运算,如果先对多项式进行积分,然后再求导,结果仍然为原来的多项式。下面对多项式的求导和积分分别进行讲解。
) c9 ]/ x. T9 A2 u& j! G4 S5 c3 L1 S1.多项式的导数
4 ]2 d/ B8 t: B8 e; P \3 @在MATLAB中,采用函数polyder()进行多项式的求导,调用方式如下。
6 i) Z2 _3 F' H% a y=polyder(p):对以向量p为系数的多项式求导。3 r- ^/ n! e. |* K
y=polyder(a, b):对以a和b为系数的多项式乘积进行求导。
8 P3 y" n* n5 k- N$ N [q,d]=polyder(b, a):返回以b为系数的多项式除以以a为系数的多项式的商的导数,并以q/d格式表示。
* ^2 I$ L5 J5 F【例5-8】 对多项式求导,其MATLAB程序如下:
; x% s0 x9 F) j; S' R
+ l; C7 \/ ^1 r8 W>> p1=[4 3 2];5 D$ ]7 s+ S9 h5 x9 I7 v
p2=[2 2 1];
0 v& Q8 I& q! P6 ~; A3 D+ Fy1=polyder(p1); %对多项式p1求导
( _: C1 {# X# M) c& A) Ey1=poly2sym(y1)) q" y0 l0 Z. a5 f
y2=polyder(p1,p2); %对多项式p1和p2的乘积求导
1 U' \. s( U" D5 Y6 X# [- ~! H3 Yy2=poly2sym(y2)* r) C: {2 |, v" y1 B
[q,d]=polyder(p1,p2); %对多项式p1除以p2的商求导) F# @$ l6 w0 U/ [2 ^
q=poly2sym(q)
5 e7 h! ]7 D z$ n# s" o3 nd=poly2sym(d)
0 f0 v- n& v, L7 `% ]: ?+ n* e) }; V. @7 x; c j
运行程序后,输出结果如下:" C$ q& b+ \( k3 T
C6 }: @1 a9 I0 U: a- c+ sy1 =7 T) r* g$ C8 D. c) b( O$ W
8*x + 3
8 P- r& K6 h" f- }" A/ Y1 j1 }y2 =7 c7 E+ v. K, C* \) S6 t1 C
32*x^3 + 42*x^2 + 28*x + 7( Z. O- X: i) I) \
q =/ n, x+ F. D- Y# _) `6 ?* T
2*x^2 - 18 r0 }- t( O. i! }. M
d =
z. B7 c$ A& @; R4*x^4 + 8*x^3 + 8*x^2 + 4*x + 1
. O; W% c0 |% E' k( g+ b) J2 A' O# ]9 i& n. K& E, S
在MATLAB中,通过函数polyder()对多项式进行求导,通过对输入参数和输出参数个数的不同,对相对应的多项式进行求导计算。对于函数[q,d]=polyder(b, a),相当于对多项式 求导,结果为 。
# _1 z, E! M0 u: v, g: Q; q0 {& v2.多项式的积分6 P: D* l5 w) R, ^% ^$ Z
在MATLAB中,使用函数polyint()对多项式进行积分运算,其调用方式如下。9 i) y0 T1 H/ G1 V% v* ~
polyint(p, k):返回以向量p为系数的多项式的积分,积分的常数项为k。
# K$ _6 w f1 L% O* t/ X: F polyint(p):返回以向量p为系数的多项式的积分,积分的常数项为默认值0。& n# e! ^" h8 f" E. s( `
【例5-9】 对多项式 进行积分运算,其常数项分别为3和0,其实现的MATLAB程序代码如下:
* b/ g/ i7 c& A/ _# R& ^5 C0 K4 }! Z7 z& F& K; n
p1=[3 2 2];
I8 s J( |" ]" D6 |4 ?/ [y1=polyint(p1,3); %对多项式p1进行积分,常数项为3( `9 |) O; @) H$ M
y1=poly2sym(y1)7 ]" x/ ^3 B: d% b+ t# w
y2=polyint(p1); %对多项式p1进行积分,常数项为0+ W, [( p. T( m& l% l
y2=poly2sym(y2)8 {5 e7 M4 {- q0 \% O& W
+ u# N* B0 Q8 I( Z0 L
运行程序后,输出结果如下:
% b% m, W: w# d, X+ U1 b" w6 E& U* w3 `
y1 =
+ Y# k s) K: ?3 ^7 D" w2 gx^3 + x^2 + 2*x + 3& s+ X+ O4 I$ V4 K3 u/ k: R
y2 =
8 [0 Q5 z+ |* \7 r3 v6 M4 Z% gx^3 + x^2 + 2*x
4 I2 T0 f" ]( V) _: n1 Z4 Y; o' G. _4 b& K# l9 B9 V' Q
通过polyint()函数对多项式进行积分运算,积分的常数项通过参数k进行设置。如果不对参数k进行设置,则k取默认值0。
) N1 Q7 R- N" `1 |) A5.1.5 多项式展开
- g3 y8 f4 `/ [6 P$ I! _1 a7 E在MATLAB中,有理多项式用它们的分子多项式和分母多项式进行表示,函数residue()可以将多项式之比用部分分式展开,也可以将一个部分分式用多项式之比进行表示。函数residue()的调用方式如下。
7 c' C8 ]/ v# k& v9 m! ?* J [r, p, k]=residue(b, a):求多项式之比b/a的部分分式展开,函数的返回值r是余数,p是部分分式的极点,k是常数项。如果多项式a没有重根,部分分式展开的形式如下:
! v: P/ D6 @6 A, ?9 N6 A' V
9 w+ n* M% q" @+ S8 c# i5 ]其中向量r、p的长度和向量a、b的长度有如下关系:
& y2 X# E+ b5 v5 Y2 T 0 b) j' X, k1 O/ O
当向量b的长度小于a时,向量k中没有元素,否则应满足:- P6 \; G6 q2 `7 Q
( q6 }" m# c9 [5 V [b, a]=residue(r, p, k):通过部分分式得到多项式,该多项式的形式为b/a。
' S# ?5 i! v& E/ ~( h【例5-10】 将多项式 和 展开成几个简单多项式的和。其实现的MATLAB代码如下:. c- l0 G, h( d4 \, [
6 ^# T% C7 I5 U# C>> clear all;
- L& d+ R5 g2 F5 R p1 P* Y0 ^: ^clear all;
% [; {7 D0 ^1 f4 Cb=[1 -1 -7 -1]; %分子多项式
$ Y, ], O! | Q0 f. }2 L8 ha=poly([1;5;6]); %分母多项式& | Z. e: B8 z
[r,p,k]=residue(b,a) %进行多项式b/a展开! W( v. _: X, d3 X- Y
[b1,a1]=residue(r,p,k); %通过余数、极点和常数项来求多项式b1/a1
' `, g- p8 w- h. |/ {3 W- I, ^b1=poly2sym(b1)
- s+ H1 u) Z, L& F; R! Z v- Ba1=poly2sym(a1)
4 T( S2 c; n0 D/ ~8 w U9 sb=[1 -1 -7 -1]; %多项式a有三重根
7 O F( W2 H$ @, a2 R6 y2 Q' @a=poly([1;1;1]); %分母多项式; b- Z( j, k, y0 P
[r,p,k]=residue(b,a) %展开多项式b/a
& S3 n; v, p6 |0 D4 m/ Y- V# c! n- |. ~8 l% v7 {3 ?0 E
运行程序后,输出结果如下:
6 V8 M0 Z% R. t9 @
+ X; }+ A1 Y& ^9 a" _& s# vr =8 I W3 g/ s4 T/ Q( S2 s0 K! V u
27.40007 k( j+ _: Z6 Y; q. U
-16.0000
7 Q9 ^. _. w- k -0.40008 G( Y: F' }7 `6 D9 h0 n1 C: O
p =
: j" d# }& z+ o 6.0000
" L/ T+ X$ p# d9 e- }9 m5 T/ z 5.0000! Z. t o% }5 |; h4 t6 ?6 T# E
1.00004 [* X6 ]' u) M, z3 o& S
k =
# r( j, E8 m: A9 U3 p 1
1 G4 u7 x9 _8 P. D$ q, Jb1 =
" x. i- B: }" p9 ~x^3 - x^2 - 7*x - 1- h8 f8 L2 Y, x7 V# j
a1 =
3 ?, B8 G2 x0 O( z+ U) b& vx^3 - 12*x^2 + 41*x - 30$ D: D: a. S3 }0 x9 v2 X8 S6 R
r =
: x! @+ ~7 Z/ g' Q1 r u 2.0000% d5 ~- ^& d' ]- _1 T/ E
-6.0000/ j: ]7 c6 C3 H2 w/ T( F5 L, c
-8.0000
- G. k: G# O4 E$ rp =
' E: h$ b- N- Y$ S. { 1.00006 `) h/ t3 _( H6 ?$ d
1.0000
9 ~) ]/ F& z9 Y% b8 A 1.0000
' x1 e5 i) K2 Y6 W. ?k =) R6 I' \6 k- I7 @
1. U; }, x, Y N" F9 ?
6 V; P [. N/ l4 `" g利用函数[r, p, k]=residue(b, a)将多项式b/a进行展开,结果为余数、极点和常数项。对该多项式进行展开后的结果如下:
, ~8 Y2 A8 L: G8 A* b 将余数、极点和常数项带入函数[b, a]=residue(r, p, k)中,可以求得对应的多项式,并通过b/a的形式给出。" c8 M& @2 X' b8 e
当多项式a有三重根1时,对多项式进行展开后的结果如下: k- c. e/ Y+ p( I5 r3 Q2 Y
9 n' } ` ?+ [+ ~4 m3 @- X" k8 Z s/ {! J* F% R' _
2 k( z. i* M; A, H # @/ E* Q1 L! y9 ?" H( [
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