百鸡问题

marchboy

百鸡问题

　　今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。”
0 a, `/ D* y" @3 ?  [编辑本段
原书说明

　　原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
# F* B# O! D5 Z. ^% h9 R编辑本段
( X9 ?, a1 e. v( i5 B( `解法
0 ?( D) F' Y9 q( @3 x5 O
4 Y4 x; c6 K8 X4 n& N, ~　　中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5 文钱，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。现在用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？
" Z/ ~3 i# L- I& j: o3 p: B$ Y　　这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下：
　　设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
1 X: @- X0 J/ ?/ {! r$ p- i2 ^4 x　　①……x+y+z =100
) n' _7 G/ G* c) B  J1 s6 _　　②……5x+3y+(1/3)z =100
9 K9 V( c6 r7 d: E4 W& a6 U1 O/ Z　　有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
0 u: S! o, S; u　　令②×3－①得：7x+4y=100；
* z  F$ _- D- m' ~　　所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4
　　令x/4=t, （t为整数）所以x=4t
　　把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
　　易得z=75+3t
　　所以：x=4t
' r. B9 g2 A9 q' c7 ]" q3 V　　y=25-7t
　　z=75+3t
8 i& L# v0 ~3 w8 r6 L　　因为x,y,z大于等于0
　　所以4t大于等于0
8 Y  {7 c) U2 d2 l　　25-7t大于等于0
/ R6 y1 n6 q% X- g　　75+3t大于等于0
3 E8 C* ]5 `3 b2 U1 T9 Z! v$ N5 s. I　　解得t大于等于0小于等于25/7 又因为t为整数
　　所以t=0,1,2,3（这里不要忘记t有等于0得可能）
5 g0 ~7 Y6 J# C9 ~" k& y　　当t=0时
! b3 k/ q8 d! l2 O# M　　x=0,y=25,z=75
7 P5 {2 J' W' d8 r6 ^; A2 L/ o% u! l1 r　　当t=1时
4 J# N: x" `: v. L: D# j　　x =4；y =18；z =78
　　当t=2时
% C( F% i. P% {2 \　　x =8；y =11；z =81
　　当t=3时
0 M7 m0 M( ]8 L- t　　x =12；y =4；z =84
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C语言解法

( L) n2 S  n* P4 Q* {% D　　
#include <stdio.h>
5 Z0 O+ \; ], Y' mvoid main()
8 {9 {2 c7 D* w! D! A! D! W) Z+ m- N{
int cocks=0,hens,chicks;
while(cocks<=20)
{
hens=0;
while(hens<=33)
; Q9 x) p* }) G! O5 u{
( V4 j& k- b4 {1 ]5 t0 k( V% X0 nchicks=100-cocks-hens;
if(5.0*cocks+3.0*hens+chicks/3.0==100.0)
printf("公鸡%d只，母鸡%d只，小鸡%d只\n\n",cocks,hens,chicks);
hens++;
}
! e% O7 q4 _) P  N, i3 K4 O- @% ccocks++;
; I3 Q) S8 A; P+ M+ N& _' M  k}
2 e( _& M7 I( M1 O3 B}
输出结果为：
8 g5 Y+ U" G, P5 F　　公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
+ j1 S8 ^3 e1 f% [# M5 }　　公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只
' H: p5 R9 K1 f' \: |$ m" W　　公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只
4 K: H0 w) J4 }! v5 [( }　　公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
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java语言解法

7 M0 A9 {$ P8 v5 X( G  b+ u. y　　public class BaiJiwenti
. e4 G# \4 |% L6 R　　{
　　public static void main (String [] args)
+ v; j/ a8 [& x& v& }0 E& R　　{
+ \# y% I1 [  Z4 w$ [6 t( W7 ]　　for (int x = 0; x <= 19; x++)
　　{
4 X+ J% z0 q! V9 v4 \　　for (int y = 0; y <= 33; y++)
　　{
3 A+ l: O5 x6 b+ z  c' K  h. D9 h　　int z = 100 - x - y;
　　if((x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100 ) && z % 3 == 0)
9 r$ y$ L& e/ ?/ ]- L　　{
/ ]- N: f6 W9 p2 V  ?+ x- i　　System.out.println("可买鸡翁只数:" + x);
( T0 N" B: Y3 Z9 [) x) x　　System.out.println("可买鸡母只数:" + y);
$ ^$ l5 t2 O$ J* N5 d　　System.out.println("可买鸡雏只数:" + z);
- b- v3 {; j. k8 i　　}
! S/ D  h( C! e$ X5 r  F　　}
　　}
4 s$ E" }: E' m6 U5 g6 x# r8 D* W　　}
　　}
2 w$ b7 V+ k( _  d' m

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