百鸡问题

marchboy

百鸡问题
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' N& C- l% x; H　　今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。”
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: W, R: P+ w9 T4 t" |; u7 [原书说明

2 a4 p8 Y& Z: N- V0 ^1 c5 i& q- L　　原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
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解法

　　中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5 文钱，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。现在用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？
- v' M  n3 m' q( f2 w　　这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下：
　　设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
　　①……x+y+z =100
% D0 \. q! \+ O8 Y8 C　　②……5x+3y+(1/3)z =100
　　有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
　　令②×3－①得：7x+4y=100；
- w" u- k% \$ E7 F1 ]9 J6 l　　所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4
7 o3 x5 T8 g8 b4 s5 _  B　　令x/4=t, （t为整数）所以x=4t
8 @* }5 c5 V$ V8 b- K. p1 R　　把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
; ~3 i7 B  O) R　　易得z=75+3t
　　所以：x=4t
" ]3 S/ N" ~  A! x　　y=25-7t
' }4 U- f2 O, @! p　　z=75+3t
　　因为x,y,z大于等于0
% K1 u9 l$ g6 Z" R5 s  T　　所以4t大于等于0
" }3 Y9 F, \9 c( Z- Q3 N# ]　　25-7t大于等于0
* `1 q8 P) E: n　　75+3t大于等于0
　　解得t大于等于0小于等于25/7 又因为t为整数
　　所以t=0,1,2,3（这里不要忘记t有等于0得可能）
( A" E1 \& X8 v# H: W! u2 \' E. D　　当t=0时
　　x=0,y=25,z=75
　　当t=1时
) h/ ]; o" \& a* T& t" q　　x =4；y =18；z =78
　　当t=2时
; h) @6 u) J- t4 y4 e　　x =8；y =11；z =81
" ]! L; k, j3 j. E3 }$ J/ o2 V　　当t=3时
7 ]1 r1 m4 t. E! W( {　　x =12；y =4；z =84
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5 g* _5 c! ^' M% YC语言解法
/ Y# B; J3 Z( f* D$ f2 A/ H4 b
% A; Z) N3 S! L4 b4 a. D　　
+ ^8 h: J6 Q( s: U& `#include <stdio.h>
# U- x, Y8 l7 hvoid main()
0 q( E0 D4 q$ E- d{
: N( p' |! o9 E8 w+ {int cocks=0,hens,chicks;
( ~$ `+ I4 @. l, Z6 @while(cocks<=20)
{
! r  H5 d! @. p) ]  R+ Rhens=0;
! q! s" w+ X9 K# g5 H3 Swhile(hens<=33)
{
) O- A% T1 K7 {. B4 K# J% Ichicks=100-cocks-hens;
if(5.0*cocks+3.0*hens+chicks/3.0==100.0)
5 Q7 N# h% s8 R7 l8 @/ V; \  j5 A3 oprintf("公鸡%d只，母鸡%d只，小鸡%d只\n\n",cocks,hens,chicks);
5 n9 T9 i' l" ~( u& V; _hens++;
}
" _6 L/ Z/ h3 }' T9 a, @) Scocks++;
, E' ?- Z$ }) y+ e% }: s$ ?}
' w9 @/ `' S, x; n+ E. |2 L}
# _" s/ {1 e. l3 U8 V( f输出结果为：
3 C8 \/ @+ G/ [5 J　　公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
. W/ A( L  e2 h3 F: J7 t5 e　　公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只
5 K+ W: t# N- R0 J　　公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只
/ f+ K9 e+ z- o  K. E/ z　　公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
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java语言解法

9 b, h8 e: N( j) u6 ?( s　　public class BaiJiwenti
　　{
- x, X# ~! L3 a: h, L9 l4 c: R　　public static void main (String [] args)
　　{
　　for (int x = 0; x <= 19; x++)
! Q1 S7 M2 B4 [5 z6 y　　{
) c4 v6 l% i$ _  X　　for (int y = 0; y <= 33; y++)
　　{
3 c0 i; q# M8 F7 `. a2 r: R, ~　　int z = 100 - x - y;
　　if((x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100 ) && z % 3 == 0)
) j1 ]4 I+ e2 [6 i　　{
　　System.out.println("可买鸡翁只数:" + x);
; |3 l- U! T( B- d0 p　　System.out.println("可买鸡母只数:" + y);
　　System.out.println("可买鸡雏只数:" + z);
" x$ X5 F, Y& T; q: Z　　}
　　}
4 n# N, O* P- j2 E  u　　}
　　}
1 R& W) {) r8 v7 P: `: y% [- `　　}
/ T- l- a& |3 r/ {0 c0 n

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