百鸡问题

marchboy

百鸡问题
0 Y/ H+ L/ M) p
! ]* F' j9 b7 a" L- C1 {8 H　　今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。”
编辑本段
% e0 M  B# j* h! B原书说明

, b' W6 R0 P; |* p* r: G1 U: {　　原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
编辑本段
解法

　　中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5 文钱，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。现在用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？
　　这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下：
$ e5 {" Q! O$ _$ D- k) |0 C　　设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
. e( ]% P) b( H　　①……x+y+z =100
　　②……5x+3y+(1/3)z =100
　　有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
- p& H+ B& v  P6 n. s　　令②×3－①得：7x+4y=100；
6 m6 O+ ?4 x8 ?　　所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4
　　令x/4=t, （t为整数）所以x=4t
$ ?; k1 Y5 j: P, d) H- o" M2 N　　把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
　　易得z=75+3t
8 t% r9 K' j$ k% B  G　　所以：x=4t
- w5 T) Q: s' A0 C) m( F　　y=25-7t
- \, c; W6 h2 r! `! @4 e　　z=75+3t
　　因为x,y,z大于等于0
　　所以4t大于等于0
$ t' J4 a3 ]) e, T, S5 F　　25-7t大于等于0
; I% [( `. D! p　　75+3t大于等于0
　　解得t大于等于0小于等于25/7 又因为t为整数
, a6 t; m! I& F　　所以t=0,1,2,3（这里不要忘记t有等于0得可能）
, E( q1 ?+ {1 j8 e( h9 R　　当t=0时
　　x=0,y=25,z=75
* }% K) A# c1 N$ |' M2 ^8 U　　当t=1时
1 P# D/ L( R% t# F3 C8 m  Q+ A　　x =4；y =18；z =78
　　当t=2时
　　x =8；y =11；z =81
　　当t=3时
　　x =12；y =4；z =84
/ T2 R' E" F) F编辑本段
C语言解法

　　
+ s# m- ?) D' q#include <stdio.h>
void main()
{
/ A" J- G3 L! n2 w% A0 P+ Dint cocks=0,hens,chicks;
3 ?! |1 P3 c6 X. u! ~while(cocks<=20)
{
hens=0;
0 @/ `% f& t7 k. y) t! v! Swhile(hens<=33)
- _# F& h- D/ r7 s1 d{
chicks=100-cocks-hens;
if(5.0*cocks+3.0*hens+chicks/3.0==100.0)
printf("公鸡%d只，母鸡%d只，小鸡%d只\n\n",cocks,hens,chicks);
hens++;
+ g0 V; \4 ]9 Q, Z}
2 M' A7 A7 d& d- u' J0 c' I0 dcocks++;
. q9 u6 l; S1 s: I$ }}
7 j/ p1 d+ v2 \, U}
# d5 ]/ E5 [" X! l1 o& E输出结果为：
: P0 @* Z; f% j& ]' H　　公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
7 O: \# P" Y* o* d+ T/ Q8 q1 j　　公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只
6 c7 L' i3 T3 E8 e$ a　　公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只
　　公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
- w3 P& _! x: v2 v- z: P编辑本段
java语言解法
2 p; {1 [8 v: x( G
' u+ [' v( Y* k# P- {; M　　public class BaiJiwenti
　　{
' R- m( r2 ?1 D, U8 f/ S　　public static void main (String [] args)
& u0 E# e- w2 X# K3 n4 L- E: H　　{
　　for (int x = 0; x <= 19; x++)
, K- x% T$ P. W　　{
　　for (int y = 0; y <= 33; y++)
　　{
2 C" i, g5 \* V0 w7 H　　int z = 100 - x - y;
% S7 v6 r, c$ U$ Y. O　　if((x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100 ) && z % 3 == 0)
$ [' C" o6 h7 F* o　　{
　　System.out.println("可买鸡翁只数:" + x);
) @" E6 ]3 ?& e# L% Z7 m  M　　System.out.println("可买鸡母只数:" + y);
; Q1 P  @% D4 B0 O/ V  ~  V" A　　System.out.println("可买鸡雏只数:" + z);
9 }3 l, s4 d- s) d) h% n# l( X　　}
/ j, \# Z# M  r: O. \6 n　　}
　　}
　　}
　　}

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