百鸡问题

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百鸡问题

5 X+ p+ L7 x+ G5 G　　今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。”
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% Z, X; R0 k& b原书说明
4 o! p; P1 W4 O  M& a7 g# {$ t" R
0 }9 v6 t- d: k6 O8 O  E/ {. ^  `% o　　原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
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解法

8 J5 h% O: C( a; E0 h　　中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5 文钱，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。现在用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？
　　这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下：
, |6 g2 M$ @! ^# P; g$ A9 j- u1 V　　设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
2 o2 l" G' w% q　　①……x+y+z =100
8 V' n9 ]0 f  w　　②……5x+3y+(1/3)z =100
　　有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
6 ]5 ]5 d3 T# M2 g　　令②×3－①得：7x+4y=100；
, D' S! n5 R5 w) a　　所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4
　　令x/4=t, （t为整数）所以x=4t
( _; D" `3 w. O, X& w4 W　　把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
　　易得z=75+3t
　　所以：x=4t
　　y=25-7t
　　z=75+3t
　　因为x,y,z大于等于0
　　所以4t大于等于0
; Z9 l/ K) R2 ^3 m1 S2 f　　25-7t大于等于0
7 q. z! J4 K  }1 o3 X! a( z% D  a5 `# r　　75+3t大于等于0
& _: [2 O  b$ O+ E8 T　　解得t大于等于0小于等于25/7 又因为t为整数
　　所以t=0,1,2,3（这里不要忘记t有等于0得可能）
8 x$ r$ E) l" Y" o5 h　　当t=0时
　　x=0,y=25,z=75
' Z4 R% {# ~' b1 l2 C8 x　　当t=1时
/ g/ H) u' f; \　　x =4；y =18；z =78
% h( P8 i7 _1 e: f　　当t=2时
　　x =8；y =11；z =81
/ j2 e' Y* B8 L) f8 y　　当t=3时
　　x =12；y =4；z =84
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( q/ X) d9 J2 R# @C语言解法

　　
8 d1 u3 S0 O3 T* z/ Y#include <stdio.h>
1 }4 j4 g+ w! O; G) e; wvoid main()
{
/ b) [% k5 U1 z( }& j3 ?int cocks=0,hens,chicks;
while(cocks<=20)
. b; {" [, l6 N3 y! E/ I{
hens=0;
while(hens<=33)
{
3 _9 K) T5 V' h9 x9 Q7 r! O4 g. Ichicks=100-cocks-hens;
if(5.0*cocks+3.0*hens+chicks/3.0==100.0)
printf("公鸡%d只，母鸡%d只，小鸡%d只\n\n",cocks,hens,chicks);
hens++;
4 C/ n( C- ~" w' f$ X. J. {. B8 \}
cocks++;
# U, W) L' M" j0 u( C2 Y+ d  `}
9 d6 \# S5 x7 r# C. m; }- G  R- B}
# _6 v* ]' p! u4 r% y2 a2 F输出结果为：
　　公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
" L) `. |* C" P) y. d" U3 w　　公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只
/ q0 j; J6 b2 ^& Q8 k　　公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只
　　公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
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5 _& G! y% |$ q. P# ~+ o* F! Jjava语言解法

$ S+ y8 E, L  k# K; h- q6 a　　public class BaiJiwenti
: x8 T2 t: |0 \( E　　{
& u% |/ t' Z, l" N; L% S' @& D　　public static void main (String [] args)
% _0 j. _$ E" x- I! ?  ~% ?+ v  J　　{
4 j7 Z* \5 O+ B9 ~1 ~　　for (int x = 0; x <= 19; x++)
8 x$ @, O. h' ^: ^4 p　　{
　　for (int y = 0; y <= 33; y++)
' n: r! P6 f5 x6 v! d5 e; y2 _* l　　{
　　int z = 100 - x - y;
5 L$ V6 f( h9 M" m" O% I7 L  Y　　if((x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100 ) && z % 3 == 0)
　　{
( e/ f' Q9 a$ E. N$ C. g" p$ N　　System.out.println("可买鸡翁只数:" + x);
0 d( X2 \, o4 N5 a7 n, S2 [　　System.out.println("可买鸡母只数:" + y);
( K  g6 l  g6 s　　System.out.println("可买鸡雏只数:" + z);
　　}
　　}
　　}
, J) H2 |$ ^$ @  L. Z  J) K　　}
7 D6 u$ Q" s" |; e6 h　　}
, O; p7 R- o' q4 j4 D, e

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