百鸡问题

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百鸡问题

1 B. p  `8 C0 _7 V0 J6 ]+ d　　今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。”
编辑本段
7 b- g4 _" b* a5 e原书说明
7 B: |. ~7 x0 x' i' d8 F' K$ W
　　原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
4 i5 U- J; z/ K; o编辑本段
解法

　　中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5 文钱，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。现在用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？
　　这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下：
8 r1 r( W9 a& V* p% ~' z　　设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
　　①……x+y+z =100
- O) f# b# }8 U/ a# e　　②……5x+3y+(1/3)z =100
　　有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
6 j1 _4 {; M+ s6 ]& f1 h/ ^. t　　令②×3－①得：7x+4y=100；
　　所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4
　　令x/4=t, （t为整数）所以x=4t
　　把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
) {' d/ p  ?% s! m  V　　易得z=75+3t
( H: K8 T$ C* A, R: ~　　所以：x=4t
　　y=25-7t
$ ]0 l; O- ^; u1 Z6 s5 o/ V- ~1 f, r　　z=75+3t
% G  ^+ P/ a$ D　　因为x,y,z大于等于0
) u8 c% u% A! M6 |　　所以4t大于等于0
* ?. e* b6 r5 @5 j1 M$ o　　25-7t大于等于0
2 k9 o, L" t) |9 ^　　75+3t大于等于0
* e; Y" R0 T3 ?2 o　　解得t大于等于0小于等于25/7 又因为t为整数
　　所以t=0,1,2,3（这里不要忘记t有等于0得可能）
% h% z3 ]: E  F3 J　　当t=0时
　　x=0,y=25,z=75
　　当t=1时
! w; y$ s) s  d$ \7 W　　x =4；y =18；z =78
0 F( O+ Q) N* y# R　　当t=2时
( e" J! B" z6 i9 }$ l　　x =8；y =11；z =81
, N5 O0 q2 [6 g4 J% j　　当t=3时
　　x =12；y =4；z =84
$ t( I2 r3 L& b/ h1 B; \, s3 R5 Q编辑本段
C语言解法

5 M: k; T. R  n, \) G  b& \　　
0 k2 g* r& x; V, k- L6 U4 F  u#include <stdio.h>
% g0 b! B, ^1 _void main()
& U% H( Q3 x6 e& I{
6 c- ^' L' I* ?6 q- H2 Q8 j# |8 Yint cocks=0,hens,chicks;
6 p% S( \8 y0 ~5 Uwhile(cocks<=20)
{
hens=0;
while(hens<=33)
5 E  {: d% l" }{
chicks=100-cocks-hens;
9 ~) M8 q+ n# `2 |' K" U3 uif(5.0*cocks+3.0*hens+chicks/3.0==100.0)
printf("公鸡%d只，母鸡%d只，小鸡%d只\n\n",cocks,hens,chicks);
+ g6 f, g8 v2 \0 ghens++;
3 [  n% F9 X% N- \: K}
cocks++;
! t9 E* A9 Y% |' A}
2 ]. J0 z; D2 Z, O}
输出结果为：
/ v, Z. t! U- k, o/ h2 t+ g　　公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
( \! u# X% a& u# @0 B1 P　　公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只
　　公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只
# s! x+ M% _8 i　　公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
0 Z' o- P+ P, x+ t3 G6 x编辑本段
java语言解法

　　public class BaiJiwenti
　　{
. r+ l( z  ]7 h: m9 u7 {　　public static void main (String [] args)
  J4 ?# Y) }. H0 @. G5 J& P1 Q' i5 i　　{
3 j$ M9 ^' b$ S: n% ^　　for (int x = 0; x <= 19; x++)
　　{
& Q% f+ ^3 b' R4 `6 ]! O　　for (int y = 0; y <= 33; y++)
2 |3 p  T6 Y6 I2 {$ z　　{
6 E8 B' t" E8 T" i3 g　　int z = 100 - x - y;
6 m, {% c% l7 P, G9 ^　　if((x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100 ) && z % 3 == 0)
　　{
" a' Y3 D/ ~7 @2 i! V- D　　System.out.println("可买鸡翁只数:" + x);
/ u3 |$ B' O8 B2 `　　System.out.println("可买鸡母只数:" + y);
　　System.out.println("可买鸡雏只数:" + z);
5 M  |# o9 Q5 F' f4 ]* B& a3 x　　}
7 E  d2 [- w* L  A- X: p; }　　}
　　}
　　}
　　}

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