百鸡问题

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百鸡问题

6 _& V& ~/ f# j　　今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。”
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原书说明
6 l+ B" f9 T) \0 i& @2 j
　　原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
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解法
% S! L. _; c8 Q7 M+ _- z
, u3 P% @- w" j3 F* f　　中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5 文钱，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。现在用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？
% J1 c3 T4 V1 X5 }8 Q　　这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下：
8 B6 t0 ?7 Y, P- V　　设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
; p6 |& {2 E; s, D0 m0 _6 n: z! ]+ Y& n　　①……x+y+z =100
5 D! x: @/ ?7 F3 b: `$ Q& Y　　②……5x+3y+(1/3)z =100
1 R' Q: G% v. ^0 Q　　有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
/ ?) T% I5 M2 ^+ x　　令②×3－①得：7x+4y=100；
　　所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4
　　令x/4=t, （t为整数）所以x=4t
　　把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
　　易得z=75+3t
' K8 ?" J& [2 R4 I. K　　所以：x=4t
# O& t# ~# k7 C8 z" }$ D: k5 u" |　　y=25-7t
　　z=75+3t
1 L0 d3 `1 E( i5 o) S　　因为x,y,z大于等于0
$ W8 D3 J4 T1 D, s/ C5 F0 X' ?　　所以4t大于等于0
: ?: e' f7 ~; l; S　　25-7t大于等于0
6 x4 S! J9 g0 X8 l( A$ c　　75+3t大于等于0
　　解得t大于等于0小于等于25/7 又因为t为整数
) [3 `) K7 t9 ]% g6 {" m　　所以t=0,1,2,3（这里不要忘记t有等于0得可能）
　　当t=0时
　　x=0,y=25,z=75
　　当t=1时
　　x =4；y =18；z =78
$ }5 ]: O  B% N: j+ A　　当t=2时
　　x =8；y =11；z =81
" v2 i9 O6 H" O/ [" C  I/ _, p3 p　　当t=3时
　　x =12；y =4；z =84
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C语言解法

2 r6 V# U% g, M# N& J" B4 ]　　
#include <stdio.h>
% {: \- S1 U, t  r: Svoid main()
- N6 e! A- ]6 ^+ U. {{
  k$ l) q& D, Z" Z3 W% ~8 aint cocks=0,hens,chicks;
while(cocks<=20)
{
: \/ r! w. v1 ^4 v2 lhens=0;
while(hens<=33)
1 e& d3 G1 F( Z{
chicks=100-cocks-hens;
6 Z; g, o" ]  v+ Rif(5.0*cocks+3.0*hens+chicks/3.0==100.0)
printf("公鸡%d只，母鸡%d只，小鸡%d只\n\n",cocks,hens,chicks);
hens++;
}
5 E7 d# f1 y" {$ [  w- _! X0 I* a7 Z3 Rcocks++;
}
! B7 W8 D2 X- ~- u" |# U8 V}
* Z9 v+ l% W8 }' l4 `9 e输出结果为：
' L7 a( t" I  I　　公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
6 @8 C# x5 e7 X% N　　公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只
　　公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只
　　公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
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& @3 m$ G4 G5 S- ?( G% sjava语言解法

4 ~' `0 j) g+ t% |% ?! U　　public class BaiJiwenti
9 }% j) ^. @3 P0 L' ]　　{
　　public static void main (String [] args)
　　{
　　for (int x = 0; x <= 19; x++)
5 F2 D3 l+ y) B( Q4 f" r& D- I　　{
　　for (int y = 0; y <= 33; y++)
　　{
　　int z = 100 - x - y;
　　if((x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100 ) && z % 3 == 0)
) _, G7 J0 s1 c　　{
3 |3 t8 _7 ^$ B$ y7 |7 i　　System.out.println("可买鸡翁只数:" + x);
　　System.out.println("可买鸡母只数:" + y);
  ]* u$ \( t& w1 h: c　　System.out.println("可买鸡雏只数:" + z);
　　}
/ R" w3 F2 N. a5 D* T　　}
% i$ N1 `. o+ [. @! S6 ^　　}
　　}
　　}

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