百鸡问题

marchboy

百鸡问题

# o  c% F9 k; L# {( R# H+ w  \　　今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。”
( Y# I( A5 f7 d/ I9 m编辑本段
& s# l4 w5 z) h& {/ P0 {( d% z原书说明

　　原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
编辑本段
解法

　　中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5 文钱，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。现在用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？
　　这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下：
& ~9 I1 w3 X, K7 O; N5 R+ u7 v　　设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
; m, T& [+ G7 W/ ~, S% P: d; a　　①……x+y+z =100
　　②……5x+3y+(1/3)z =100
5 x0 m3 v* h% Z  S5 O1 C　　有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
/ K; S  w4 h9 ?% e' |　　令②×3－①得：7x+4y=100；
- j) D& A4 V( {! Y- d5 K　　所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4
* ~# T/ j  j2 ^5 A! x; i, n6 X6 I　　令x/4=t, （t为整数）所以x=4t
0 Q# f/ p3 N' @8 C% S& I　　把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
　　易得z=75+3t
　　所以：x=4t
　　y=25-7t
　　z=75+3t
& a$ n" ]2 c+ W1 c4 U1 r　　因为x,y,z大于等于0
9 G8 }# I* L/ |9 N% R+ v8 J　　所以4t大于等于0
　　25-7t大于等于0
' v4 G' j: O, s( q7 h　　75+3t大于等于0
　　解得t大于等于0小于等于25/7 又因为t为整数
　　所以t=0,1,2,3（这里不要忘记t有等于0得可能）
　　当t=0时
1 u4 i" Q% y2 a4 P4 R　　x=0,y=25,z=75
7 R+ d9 n5 `& a　　当t=1时
　　x =4；y =18；z =78
2 u0 [( b$ U& i5 \+ f　　当t=2时
　　x =8；y =11；z =81
　　当t=3时
' @3 S! h8 ?+ `　　x =12；y =4；z =84
- i+ `  s  A% g$ p' B/ b编辑本段
' r8 l$ Y8 p7 NC语言解法
& l4 i4 f2 b% ?" H
　　
#include <stdio.h>
void main()
{
int cocks=0,hens,chicks;
while(cocks<=20)
4 x( w/ z$ d0 V+ w{
7 P2 ?' k/ {+ G$ R% G4 @8 Ghens=0;
while(hens<=33)
{
' H( ?+ p, Z: r7 j" O& ~0 a; Z- O+ Schicks=100-cocks-hens;
$ }1 c# B9 [7 _* Uif(5.0*cocks+3.0*hens+chicks/3.0==100.0)
* _( H/ V9 g* ^" x+ B5 Z$ Mprintf("公鸡%d只，母鸡%d只，小鸡%d只\n\n",cocks,hens,chicks);
hens++;
}
( m7 S9 s# e$ S7 w- `( T2 Gcocks++;
$ b9 y$ b: y; x' o8 p- K& v}
2 c0 g9 k, x' b( Z% E}
# _& t  N" L6 ^" i/ K输出结果为：
　　公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
　　公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只
　　公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只
　　公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
3 o& ~: i% e- ?编辑本段
2 s. A1 ]+ m0 w" rjava语言解法

　　public class BaiJiwenti
. X  q4 U- |, g　　{
7 ?! d# \4 K5 w- J! B　　public static void main (String [] args)
- U* M! r/ u, Y) u6 `　　{
, r& O5 b7 k! v6 `7 l, ?/ r　　for (int x = 0; x <= 19; x++)
　　{
　　for (int y = 0; y <= 33; y++)
　　{
3 c* ]8 |: ~, @' K# A　　int z = 100 - x - y;
2 L& v! c- g/ o; N　　if((x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100 ) && z % 3 == 0)
　　{
- r: G% g" E1 _7 P' d3 R　　System.out.println("可买鸡翁只数:" + x);
　　System.out.println("可买鸡母只数:" + y);
　　System.out.println("可买鸡雏只数:" + z);
　　}
　　}
3 L% Y6 t+ x" M, ^6 w　　}
$ [+ b6 j) X3 D7 \! i; [　　}
　　}

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