百鸡问题

marchboy

百鸡问题

　　今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。”
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6 ~" W. i4 Q' ]7 Y$ d9 ?原书说明
5 ~2 d4 f3 u9 C+ m+ _% \2 p- P
# N9 P- e: {6 u　　原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
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% A6 f8 D3 i+ s解法
* T. h# X1 [4 L$ K% \8 M5 G* `/ X
　　中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5 文钱，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。现在用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？
/ z5 h2 D  G* E4 j4 l　　这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下：
2 ~2 d. T8 s# N, Q( J0 \: K1 }　　设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
　　①……x+y+z =100
　　②……5x+3y+(1/3)z =100
8 j& V+ j+ \8 e5 G7 W/ r　　有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
8 K4 p! R: I$ }/ ?5 }( Z& |4 q6 L　　令②×3－①得：7x+4y=100；
　　所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4
$ p2 {- x* I% N7 a1 H% D1 b& @" o4 I) j$ s　　令x/4=t, （t为整数）所以x=4t
　　把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
　　易得z=75+3t
　　所以：x=4t
　　y=25-7t
　　z=75+3t
　　因为x,y,z大于等于0
8 A- A, x. A- @1 V- v6 e7 [　　所以4t大于等于0
　　25-7t大于等于0
0 n! `% v/ U4 f% N　　75+3t大于等于0
4 H" t" y* B1 |2 M4 r' x3 l* [6 |- u" ?　　解得t大于等于0小于等于25/7 又因为t为整数
* A4 e+ T3 O* L! i, y) {　　所以t=0,1,2,3（这里不要忘记t有等于0得可能）
　　当t=0时
　　x=0,y=25,z=75
0 G0 s. v! Z# X$ g5 q9 v/ @　　当t=1时
5 u# l- y" F6 R* U. H% x　　x =4；y =18；z =78
　　当t=2时
　　x =8；y =11；z =81
* \' p' q9 d1 U  w( `. F/ c9 g5 A　　当t=3时
% S  S' x8 _% k5 `- |  Q　　x =12；y =4；z =84
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C语言解法

! _( D9 _- H& E' {' [0 ]　　
# n  f. h& w4 ]- W* c#include <stdio.h>
& _, ^* \0 d- {! `  {9 W7 v# |" jvoid main()
{
( [% N) _* F4 L/ s4 q5 cint cocks=0,hens,chicks;
, w( R# |, l; \2 m- o3 |while(cocks<=20)
{
hens=0;
while(hens<=33)
{
chicks=100-cocks-hens;
, J) P; |9 [; [% v  u- l5 Vif(5.0*cocks+3.0*hens+chicks/3.0==100.0)
; ^( g* V' J; Uprintf("公鸡%d只，母鸡%d只，小鸡%d只\n\n",cocks,hens,chicks);
hens++;
}
: W" \& r) s# g$ Y& Vcocks++;
6 t0 t4 x5 a, t}
}
输出结果为：
, k3 h5 Q& E4 W　　公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
- z+ j2 @) e5 ~$ C- G- \) e- V　　公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只
2 R6 U. t* w3 {% O　　公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只
0 o. [3 H/ M+ s% ]: L1 C  N8 g　　公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
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& w0 \7 e! X5 g0 h# C" E' Bjava语言解法
7 x: p) A2 L& Q$ V, F2 L
　　public class BaiJiwenti
　　{
8 d! ?8 j; z# n9 i  x6 |　　public static void main (String [] args)
6 Q7 W" G3 w) G6 ]　　{
) M5 V% y" L; T. M( G　　for (int x = 0; x <= 19; x++)
0 Z; z8 D/ S  L9 N9 o. d9 Y* ]　　{
$ I) F& p3 n1 R( U　　for (int y = 0; y <= 33; y++)
　　{
　　int z = 100 - x - y;
9 m% X1 V  I5 k/ G6 y　　if((x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100 ) && z % 3 == 0)
　　{
  `! w+ q# n6 L　　System.out.println("可买鸡翁只数:" + x);
　　System.out.println("可买鸡母只数:" + y);
& ~# {" H5 N% }! n　　System.out.println("可买鸡雏只数:" + z);
. i) c5 f( |. v3 m　　}
4 n+ I3 q9 d  P/ D' f8 f+ {, d　　}
　　}
, [% f/ M8 W1 T4 v0 d( N- z) T2 x　　}
; m$ y9 D+ f3 I　　}

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