百鸡问题

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百鸡问题

3 P* x  I) W+ w+ S' y. ~　　今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。”
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原书说明
' X! p. _+ [& m$ J# x6 |
　　原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
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* D  \3 d6 O& h. u1 Y1 E4 I$ x解法
8 }4 o' G1 k( ^5 K5 s
　　中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5 文钱，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。现在用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？
　　这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下：
　　设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
- s+ p) i3 C% P4 T- |　　①……x+y+z =100
　　②……5x+3y+(1/3)z =100
　　有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
1 y6 M; C/ Q6 _# v　　令②×3－①得：7x+4y=100；
　　所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4
　　令x/4=t, （t为整数）所以x=4t
　　把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
　　易得z=75+3t
7 Z* s5 }5 B0 H! t' \　　所以：x=4t
1 i2 }1 q' n3 z& x# N　　y=25-7t
　　z=75+3t
　　因为x,y,z大于等于0
　　所以4t大于等于0
　　25-7t大于等于0
　　75+3t大于等于0
* _+ Q- R  g+ c8 w% a3 _; H　　解得t大于等于0小于等于25/7 又因为t为整数
　　所以t=0,1,2,3（这里不要忘记t有等于0得可能）
　　当t=0时
7 u# t4 `( r5 ^　　x=0,y=25,z=75
　　当t=1时
　　x =4；y =18；z =78
　　当t=2时
0 P( S6 g  D9 w　　x =8；y =11；z =81
　　当t=3时
! A% ^: D& `9 T$ F7 o: I　　x =12；y =4；z =84
- m* B6 W; n9 @- |5 {3 d& A3 u6 |编辑本段
: B+ d! K* Q0 v) U: g9 BC语言解法

1 D0 S$ J3 t, D　　
#include <stdio.h>
/ L! h7 x/ x4 x2 Rvoid main()
{
int cocks=0,hens,chicks;
' ~2 F6 m4 ]$ ~, Twhile(cocks<=20)
  c! L. [2 b' ^9 G) r{
2 i$ M- J' O" J1 W) z+ S+ X9 L8 l4 g) Hhens=0;
while(hens<=33)
{
' z( c4 T/ L! o9 z4 N6 l2 X* h1 Ochicks=100-cocks-hens;
/ o  T3 O( k8 t+ @if(5.0*cocks+3.0*hens+chicks/3.0==100.0)
) H5 l: V3 l  M, ^1 }5 qprintf("公鸡%d只，母鸡%d只，小鸡%d只\n\n",cocks,hens,chicks);
  i: f+ w/ U/ V/ [# E3 J; `hens++;
, R" @7 L% s' O3 D" u. {5 d}
) `6 ?9 w3 A' }5 jcocks++;
}
}
输出结果为：
　　公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
　　公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只
0 ]+ N5 {: H  v8 P& O# J# ^* \# L　　公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只
　　公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
2 T. B8 s5 S! ?& \. C. y* z编辑本段
( R8 I$ k: l3 j) D& Hjava语言解法
# s+ y3 G# |' e; m- f1 b0 n* I% ^
　　public class BaiJiwenti
& t' _; f7 @$ V/ O6 d$ j- r) A　　{
3 P; ~( p# [9 O" o3 m# m　　public static void main (String [] args)
　　{
　　for (int x = 0; x <= 19; x++)
　　{
　　for (int y = 0; y <= 33; y++)
! t( v9 t+ w0 E& x* D  _! ^  c% g　　{
　　int z = 100 - x - y;
' R$ ^2 Q+ h9 x4 A　　if((x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100 ) && z % 3 == 0)
　　{
　　System.out.println("可买鸡翁只数:" + x);
　　System.out.println("可买鸡母只数:" + y);
$ L. ]7 E8 Y& x$ l5 Q6 T  s0 X: h　　System.out.println("可买鸡雏只数:" + z);
　　}
" P2 C8 n2 F( y- V( n( h( h' O　　}
0 C* c5 |7 N' g# A& S; x2 v' A　　}
) u: m  V$ x# b. i2 o) c3 ?" v6 o　　}
　　}

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