百鸡问题

marchboy

百鸡问题
4 B6 D! h& r2 U
　　今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。”
" w1 b0 B. J' H5 W/ @3 N编辑本段
3 ^. j2 x6 {# ~: A原书说明
. g+ w  w% z$ |/ b7 |
' `7 X+ H9 b+ k' K; s" |　　原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
' T; x. Z- p1 j5 u% p编辑本段
解法
5 A# ?* ^* k9 E* R
　　中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5 文钱，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。现在用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？
　　这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下：
　　设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
. \! H/ h5 L+ }/ p: {9 J9 _: z9 G8 R3 i　　①……x+y+z =100
. Y/ a( J- H0 j5 l' z# W+ z, C　　②……5x+3y+(1/3)z =100
　　有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
( y8 d( f8 i. C8 p: p　　令②×3－①得：7x+4y=100；
　　所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4
- j1 q( T/ h0 W8 S  r" n　　令x/4=t, （t为整数）所以x=4t
　　把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
( Q! k0 U3 u/ U0 l% W; s　　易得z=75+3t
　　所以：x=4t
' h6 u8 c* [  Y1 [. r4 Q　　y=25-7t
7 @7 ~* j3 c! J/ Y- _7 u　　z=75+3t
　　因为x,y,z大于等于0
　　所以4t大于等于0
1 j; G' i8 R" X' S. B　　25-7t大于等于0
. J1 P0 Z# c: r2 O　　75+3t大于等于0
　　解得t大于等于0小于等于25/7 又因为t为整数
8 S. l7 N  f' O; M# f5 @, R" E　　所以t=0,1,2,3（这里不要忘记t有等于0得可能）
　　当t=0时
# Y  V1 o' @! j　　x=0,y=25,z=75
, a9 x! n- R' {! O( C- T9 l3 D　　当t=1时
, e: O: m( a& N  S# y, |　　x =4；y =18；z =78
　　当t=2时
% k1 e4 f0 t( W' h4 m　　x =8；y =11；z =81
　　当t=3时
　　x =12；y =4；z =84
编辑本段
C语言解法

　　
8 b* _" N" r$ m# r% n#include <stdio.h>
void main()
{
int cocks=0,hens,chicks;
while(cocks<=20)
8 d' T1 Q& o/ i- y{
) R, G* `! m5 U8 {4 j4 lhens=0;
while(hens<=33)
6 l. a3 E! j7 b6 p/ s{
6 a, ]1 d: Q: [% \" Echicks=100-cocks-hens;
: [* O+ B. S" Xif(5.0*cocks+3.0*hens+chicks/3.0==100.0)
/ I0 c5 R( s/ }printf("公鸡%d只，母鸡%d只，小鸡%d只\n\n",cocks,hens,chicks);
hens++;
( t* z1 ^- V. {: Y}
" R6 g8 R' @( P4 g3 J' H3 w( K1 ncocks++;
}
6 ^1 s& i8 Q, L5 G1 Z}
输出结果为：
　　公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
　　公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只
　　公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只
' M  v1 d; ^! ]　　公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
/ i/ \4 F$ e+ D% R% |0 j编辑本段
java语言解法

　　public class BaiJiwenti
　　{
　　public static void main (String [] args)
　　{
' q* x. y0 c$ ]3 Z　　for (int x = 0; x <= 19; x++)
% U8 [" z8 J4 P" k6 H　　{
　　for (int y = 0; y <= 33; y++)
2 {: R& {. H/ C! Y6 e( s　　{
　　int z = 100 - x - y;
& O( Q1 M$ e# |  H: k) Y# J& ]0 A　　if((x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100 ) && z % 3 == 0)
' K  a! X& K; F+ H) j　　{
5 l: Z* N/ t* C) ], w- B/ m　　System.out.println("可买鸡翁只数:" + x);
; J/ w- b, I. K; D4 _& t　　System.out.println("可买鸡母只数:" + y);
7 C1 ?. N4 m5 S) G5 ~; O* C, d' m　　System.out.println("可买鸡雏只数:" + z);
4 Y$ L/ g7 ?  D# Y+ P: c$ I* a　　}
　　}
8 ^  J: u2 ?2 ~5 w; w- E4 G　　}
- t7 {+ z# I( J9 M: t$ n　　}
　　}

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