百鸡问题

marchboy

百鸡问题
0 c3 W% N" Y) D( T7 Z3 m9 n" |
3 y1 |5 a  C  @8 {　　今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。”
* K# u- Q& F  G( {编辑本段
4 r& P6 j* T* d: V原书说明

( }6 Z' g" J. O2 ^2 ~  e. k+ Q　　原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
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解法
3 c* M6 [( P( T: Y' s6 j
& v) V) X! J! C3 X4 x9 e; v　　中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5 文钱，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。现在用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？
; V. C9 z4 M5 x  r( @　　这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下：
9 u2 e8 z* b: Q" B　　设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
　　①……x+y+z =100
　　②……5x+3y+(1/3)z =100
　　有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
　　令②×3－①得：7x+4y=100；
　　所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4
) a) y& F9 r% h! [- E! r　　令x/4=t, （t为整数）所以x=4t
　　把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
6 d% L' M6 ^( g. M1 @; }　　易得z=75+3t
　　所以：x=4t
6 j: n" H, B  T& P) X& p' h" D% O　　y=25-7t
- W( \- p3 ^5 a. u　　z=75+3t
4 y7 y( H5 j, J( |' t, r$ I$ B　　因为x,y,z大于等于0
　　所以4t大于等于0
　　25-7t大于等于0
　　75+3t大于等于0
$ o! u, _# n8 N1 P+ T6 C# @) V　　解得t大于等于0小于等于25/7 又因为t为整数
( G7 j% K" s7 X. C6 F3 V　　所以t=0,1,2,3（这里不要忘记t有等于0得可能）
% ]. c3 R" U$ L+ M( C; _　　当t=0时
　　x=0,y=25,z=75
　　当t=1时
　　x =4；y =18；z =78
. L% V# N! H; x$ L$ U: F　　当t=2时
5 N' M3 v2 T% O0 l4 s　　x =8；y =11；z =81
4 S" e  [* o: X" ~, E+ P8 F　　当t=3时
　　x =12；y =4；z =84
9 q/ ?3 {2 O0 z" }) d- K编辑本段
; ~$ x( C. P# WC语言解法
$ V5 M8 K, c: B. B
. g' Y2 f2 N2 B7 }  E- t4 `3 n: X　　
#include <stdio.h>
void main()
+ J/ ~3 _2 h& F{
int cocks=0,hens,chicks;
while(cocks<=20)
{
hens=0;
while(hens<=33)
{
: {8 ~8 K' ]' K4 v8 v7 l$ wchicks=100-cocks-hens;
6 ^9 O0 t& v/ G' s, o4 Cif(5.0*cocks+3.0*hens+chicks/3.0==100.0)
printf("公鸡%d只，母鸡%d只，小鸡%d只\n\n",cocks,hens,chicks);
hens++;
}
6 u$ F2 F9 G1 @3 I2 [cocks++;
}
- |8 z$ e! o7 _0 z' m( G* o}
9 _  V7 f% @% V: `' ~5 [9 ]输出结果为：
" t: s; l6 X/ F  _# Z　　公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
' {$ `/ p1 D+ [4 c6 R　　公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只
　　公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只
　　公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
编辑本段
3 i3 @1 T5 u+ ^# \8 Xjava语言解法
& V" A, g. q" g, r" x0 R1 h
  R, ]1 l% Q% ]  u　　public class BaiJiwenti
　　{
　　public static void main (String [] args)
  [0 Y- [% u" R　　{
　　for (int x = 0; x <= 19; x++)
9 ?  g  D" \  ^9 v　　{
3 G3 B2 e1 t0 p! F2 k5 i, Q　　for (int y = 0; y <= 33; y++)
　　{
3 r+ m! y4 z) a- d: i　　int z = 100 - x - y;
& e0 W9 t& `2 R/ e　　if((x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100 ) && z % 3 == 0)
) N) \4 A# ], ?3 w( P8 e7 B　　{
) s% w2 d. p  ^; I' l& h- q" G　　System.out.println("可买鸡翁只数:" + x);
; Q  q% |4 I! W- S　　System.out.println("可买鸡母只数:" + y);
" ]" P/ N( I6 A! q( {) |　　System.out.println("可买鸡雏只数:" + z);
　　}
　　}
, V5 `. Y2 S. y4 Y% O% R　　}
0 u6 \9 ?8 _8 {7 k, u　　}
7 @! n8 N' ~9 F7 B2 K　　}

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