百鸡问题

marchboy

百鸡问题
. ~9 Z1 z: R0 q1 ~7 @4 G: f
' [" v$ v7 Z  l5 b; [* V+ s8 p　　今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。”
编辑本段
) c$ l3 V8 A; w1 V5 o原书说明

% Y( s0 w  g# G& g+ I( h( l% {　　原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
. v+ x& @! Q4 h% c编辑本段
解法

2 C( o# g. P, ]  ]6 H　　中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5 文钱，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。现在用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？
　　这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下：
　　设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
# l: }; E% Y$ W3 v; D　　①……x+y+z =100
　　②……5x+3y+(1/3)z =100
　　有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
　　令②×3－①得：7x+4y=100；
: c# B# [* K  e# [! i　　所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4
$ T4 f2 b4 U' s4 O! [　　令x/4=t, （t为整数）所以x=4t
* Z1 k, F+ G6 j: M/ L/ a" ~　　把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
　　易得z=75+3t
　　所以：x=4t
# x1 ~8 W0 J9 S- G& x" @) ~* P( s　　y=25-7t
. o( Z/ D# u3 s# J7 @* f% c　　z=75+3t
　　因为x,y,z大于等于0
　　所以4t大于等于0
　　25-7t大于等于0
　　75+3t大于等于0
　　解得t大于等于0小于等于25/7 又因为t为整数
　　所以t=0,1,2,3（这里不要忘记t有等于0得可能）
　　当t=0时
) \0 v+ l& z- b8 P6 j　　x=0,y=25,z=75
! W2 w  F8 N& P: j6 O$ E+ f7 o　　当t=1时
; l9 [+ {% _* i5 H　　x =4；y =18；z =78
　　当t=2时
5 e, V/ m% u4 r7 d　　x =8；y =11；z =81
　　当t=3时
$ z/ t3 J+ r# Z0 \. X) S　　x =12；y =4；z =84
: V. _( y- k& W0 s% D3 Y编辑本段
' \8 ~9 h$ X, u+ eC语言解法

1 e7 I1 l8 z3 X　　
#include <stdio.h>
void main()
{
1 P2 M" L0 I3 j, pint cocks=0,hens,chicks;
while(cocks<=20)
6 y: Z2 D7 D0 e; P" G{
. K4 m3 e  |! q) j$ v$ Bhens=0;
( t- k/ d  n9 Fwhile(hens<=33)
' Q3 H7 D8 ]3 |: I. \$ I) N5 ~" y{
chicks=100-cocks-hens;
4 N& z! V3 c. K: ]if(5.0*cocks+3.0*hens+chicks/3.0==100.0)
printf("公鸡%d只，母鸡%d只，小鸡%d只\n\n",cocks,hens,chicks);
hens++;
}
" O3 b. }4 X3 o7 Lcocks++;
) d" Q. i1 q5 N$ ?}
* x0 A$ C5 ?) t$ Z}
* P2 C6 U, A9 B: Z" u# [' B输出结果为：
　　公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
　　公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只
& ]/ i/ Q7 k& O/ @% n5 V　　公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只
　　公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
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java语言解法

　　public class BaiJiwenti
　　{
" S3 q/ d$ V( O3 _　　public static void main (String [] args)
　　{
( l/ F! Q: b( e( h+ ^: j- e　　for (int x = 0; x <= 19; x++)
" \3 W- h! y% E) E1 B　　{
　　for (int y = 0; y <= 33; y++)
4 _8 v; h+ @% x; y. A7 ]! B　　{
( z" ?( p, f6 I. b) v　　int z = 100 - x - y;
　　if((x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100 ) && z % 3 == 0)
　　{
　　System.out.println("可买鸡翁只数:" + x);
　　System.out.println("可买鸡母只数:" + y);
2 B+ s3 x0 Y4 T( Y: Q& L# ~　　System.out.println("可买鸡雏只数:" + z);
7 e8 Q8 c. m. S! ^　　}
  F8 ~: u: O. L5 c$ D　　}
6 h, ]# z" M: G5 y" ~9 h# r　　}
　　}
% |) S0 \6 b/ S, `+ j9 I　　}

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