百鸡问题

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百鸡问题

6 ^+ Y! {7 t2 n4 X) W　　今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。”
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原书说明
5 r- Z' m) x& ]' }
- @. j4 \& B# _# [; M8 D4 r　　原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
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解法
& N+ V! X2 o0 {( E: ^
　　中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5 文钱，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。现在用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？
4 P- `3 [* z4 W5 u( \　　这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下：
; E2 z" ^1 a$ x/ A1 d" M4 h6 R) }; T　　设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
2 T$ N1 D: B5 W- N! W! q' z　　①……x+y+z =100
- |7 q% P2 M: Q6 G6 H) W　　②……5x+3y+(1/3)z =100
　　有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
　　令②×3－①得：7x+4y=100；
! T+ L6 \" L( [2 B% |  D3 \　　所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4
　　令x/4=t, （t为整数）所以x=4t
　　把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
　　易得z=75+3t
　　所以：x=4t
6 E* ]1 {7 D3 c0 ~' O# \3 _. l　　y=25-7t
　　z=75+3t
. {2 n0 k  K# k5 e1 w. e: a; D　　因为x,y,z大于等于0
* |& N( _7 e/ _5 H5 d& [' N3 k　　所以4t大于等于0
; z0 V  {) y; }8 w' B- s2 X　　25-7t大于等于0
　　75+3t大于等于0
( K! v; ]3 g9 g; Z! r　　解得t大于等于0小于等于25/7 又因为t为整数
　　所以t=0,1,2,3（这里不要忘记t有等于0得可能）
　　当t=0时
# u: s- ^: u; O; J0 u  f# ?' E　　x=0,y=25,z=75
　　当t=1时
* }& d9 h9 }& K2 P　　x =4；y =18；z =78
3 Y! ]: }+ i$ a* W$ o　　当t=2时
; {7 b8 S2 _; W! k& t. e　　x =8；y =11；z =81
2 {, `% f! @: X. X　　当t=3时
　　x =12；y =4；z =84
0 i4 p4 d3 T/ Z+ K  b% `6 e$ d编辑本段
C语言解法

　　
5 q: @" p" Q. i0 I5 e) U# |& x. ~#include <stdio.h>
void main()
8 H, {0 v9 R4 q/ J{
int cocks=0,hens,chicks;
while(cocks<=20)
( m! j2 Y3 V! N{
. Q4 G6 N5 u& q; z8 @hens=0;
/ _  k: d- V6 G, Q1 R3 X; K4 Kwhile(hens<=33)
: n4 Y, N- n% ?# v9 {{
. d; T+ o9 u- {# B: achicks=100-cocks-hens;
if(5.0*cocks+3.0*hens+chicks/3.0==100.0)
printf("公鸡%d只，母鸡%d只，小鸡%d只\n\n",cocks,hens,chicks);
hens++;
2 Q" b! G. Z! `. J& Y5 _1 B1 r}
cocks++;
}
}
; j5 b( H+ f. W" I# E输出结果为：
　　公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
　　公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只
: G  q6 L2 @; y7 R0 N  R　　公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只
　　公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
- K. p4 Z9 a5 v+ d4 Y5 }编辑本段
( R  C8 v8 t+ g% H7 Ijava语言解法
0 }: @) h( ^7 c0 W- ^$ _# |
　　public class BaiJiwenti
　　{
" V, J7 X5 ^' r/ {* s  m- o0 s* R　　public static void main (String [] args)
) X$ ~! Y6 h2 ?4 D1 I9 F　　{
　　for (int x = 0; x <= 19; x++)
　　{
1 P8 I8 @; }; c0 J5 j1 X　　for (int y = 0; y <= 33; y++)
' }6 o: r0 N; Q% h& W3 t　　{
　　int z = 100 - x - y;
8 ?2 n' ~2 ~# S1 s5 k- Y/ v　　if((x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100 ) && z % 3 == 0)
　　{
　　System.out.println("可买鸡翁只数:" + x);
　　System.out.println("可买鸡母只数:" + y);
4 I: x9 u2 p0 x  \1 I* B/ z4 k: d　　System.out.println("可买鸡雏只数:" + z);
　　}
　　}
　　}
7 i! i* {0 P6 N: G7 V' i1 p　　}
　　}

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