百鸡问题

marchboy

百鸡问题
4 E5 p. y, n& L$ F
　　今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。”
编辑本段
8 Q% \$ q7 q1 z5 B! m: c( {5 J原书说明

　　原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
4 N, l4 ?2 p8 R4 B2 t5 g& e编辑本段
+ b7 C8 q+ n+ C5 R+ ~解法
* Z" X# j: n% ~
$ p- y& D3 Y' v: o  d　　中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5 文钱，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。现在用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？
0 N( V. X/ Z/ U5 O3 R5 O　　这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下：
4 J% p2 t) h5 e+ y　　设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
　　①……x+y+z =100
8 v* z: B+ {& X" Q6 U! F( U# b　　②……5x+3y+(1/3)z =100
3 K& d* y+ S. O. q) Y　　有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
6 _# t* C8 {4 P: y　　令②×3－①得：7x+4y=100；
　　所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4
% G$ i" T) M! M3 j! ?0 ]3 W) R1 c) I　　令x/4=t, （t为整数）所以x=4t
　　把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
　　易得z=75+3t
　　所以：x=4t
6 B1 h4 ?9 Q* P' ~　　y=25-7t
/ W& ?* u/ a2 I$ ]. K$ N  l5 }　　z=75+3t
( K) a: l( ]: I" A* Z　　因为x,y,z大于等于0
　　所以4t大于等于0
　　25-7t大于等于0
　　75+3t大于等于0
　　解得t大于等于0小于等于25/7 又因为t为整数
　　所以t=0,1,2,3（这里不要忘记t有等于0得可能）
　　当t=0时
　　x=0,y=25,z=75
9 n* k' d, ^0 V8 y8 b2 ~- n6 q　　当t=1时
　　x =4；y =18；z =78
　　当t=2时
　　x =8；y =11；z =81
　　当t=3时
　　x =12；y =4；z =84
编辑本段
C语言解法
6 b3 i  E7 K/ R% }
　　
#include <stdio.h>
3 W6 z+ ?2 X4 v8 P" |# I& [void main()
5 a+ c. L" Z4 ^, X& k. g+ f9 H2 P8 V1 z& d{
int cocks=0,hens,chicks;
while(cocks<=20)
5 c5 r; s" R3 ^2 G{
8 Y$ E- z8 W' y/ Lhens=0;
, [. w  n9 p- A6 Kwhile(hens<=33)
{
. i3 f+ d) L7 _/ [* T' N; E, Gchicks=100-cocks-hens;
8 U3 B7 l% R( }% G% ^if(5.0*cocks+3.0*hens+chicks/3.0==100.0)
5 |: N7 W) b0 X- ]0 }printf("公鸡%d只，母鸡%d只，小鸡%d只\n\n",cocks,hens,chicks);
hens++;
' Y7 S( U6 l8 F' f}
4 \4 F$ a3 n% u" |) D+ L5 ccocks++;
}
: M; i- u: S# ]0 h+ {: I$ B}
输出结果为：
! {+ z# g6 w* J2 B8 Q　　公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
+ I) w- k  v, Q4 l, l6 P　　公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只
　　公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只
　　公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
6 d* C9 p% K6 ]编辑本段
0 d2 K) d+ `  z. T& F  O4 hjava语言解法
0 B3 N2 a6 S$ o% Y1 C
　　public class BaiJiwenti
$ Z4 l3 _: s0 Y　　{
6 K- U* {  E' G- d5 T　　public static void main (String [] args)
　　{
& C9 U$ w' X0 y% l9 j　　for (int x = 0; x <= 19; x++)
& z& B6 S7 E; k4 L' V* K　　{
　　for (int y = 0; y <= 33; y++)
$ O3 e7 z* a/ K2 d- b% {5 z　　{
* @& k# R% a. W8 Y3 X& |( j9 R: h　　int z = 100 - x - y;
　　if((x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100 ) && z % 3 == 0)
( q- w4 B! Y8 [8 o. f　　{
　　System.out.println("可买鸡翁只数:" + x);
3 h+ R5 W/ |3 |% M: p; u2 t& Y　　System.out.println("可买鸡母只数:" + y);
　　System.out.println("可买鸡雏只数:" + z);
　　}
; x- ?3 `  k  X* o　　}
8 j/ Q1 r9 F& k  Z- O　　}
　　}
　　}

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