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百鸡问题
8 b$ B/ J# s% ?/ h
/ a; x z8 F; U/ b# d 今有鸡翁一,值钱伍;鸡母一,值钱三;鸡鶵三,值钱一。凡百钱买鸡百只,问鸡翁、母、鶵各几何?答曰:鸡翁四,值钱二十;鸡母十八,值钱五十四;鸡鶵七十八,值钱二十六。又答:鸡翁八,值钱四十;鸡 母十一,值钱三十三,鸡鶵八十一,值钱二十七。又答:鸡翁十二,值钱六十;鸡母四、值钱十二;鸡鶵八十 四,值钱二十八。”
% M3 n2 I8 A" Q+ k9 G$ W2 O编辑本段( V3 Q0 s( |+ z# a
原书说明3 S2 Q3 F, n2 X9 l
0 T* n% r j% r0 R; ^
原书没有给出解法,只说如果少买7只母鸡,就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案,就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法,只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代,研究百鸡术的人渐多,1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇(约1870)推广了百鸡问作《百鸡术衍》,从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式,如百僧吃百馒,百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题,中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题,且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
2 o) q! p6 x/ Y6 o6 Y+ L% E9 E编辑本段
4 g9 R! C4 b5 W8 U( ]; T( A# X" }解法5 _2 G: g. `. ]1 q/ i
1 _* K3 h p7 J 中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题:公鸡每只值5 文钱,母鸡每只值3 文钱,而3 只小鸡值1 文钱。现在用100 文钱买100 只鸡,问:这100 只鸡中,公鸡、母鸡和小鸡各有多少只?
! }' X7 {9 y# d/ J$ C% | 这个问题流传很广,解法很多,但从现代数学观点来看,实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下:
5 G; q3 y0 p' y4 z) b/ f' u F 设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只,由题意得:# a8 z* p# h: ~) G, _% H# f
①……x+y+z =100
2 m% u& c$ n% M$ X# R/ v6 V. l ②……5x+3y+(1/3)z =100% z2 h' R/ t' \+ s: z
有两个方程,三个未知量,称为不定方程组,有多种解。
5 T' q! O; y) K' K4 Q 令②×3-①得:7x+4y=100;7 D1 R7 B; j# S0 r( e$ s
所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4- k6 v' t) M9 p8 d+ |
令x/4=t, (t为整数)所以x=4t
6 g9 g. {, l" I9 \; c 把x=4t代入7x+4y=100得到:y=25-7t
) j( F# U, b* o/ t 易得z=75+3t
2 B9 Z M! N1 S 所以:x=4t, s- y5 M9 c3 {
y=25-7t
# r0 `0 T# Q8 r! p9 _7 c. B z=75+3t2 c% o2 W" t9 m' U3 C+ p
因为x,y,z大于等于01 ~) {% A# J/ D, o
所以4t大于等于0
z7 w8 {2 @; ^' P$ Y, u* E 25-7t大于等于0
" X) i$ R3 j4 R2 Z 75+3t大于等于0" N) [$ V2 u( Z+ `/ p/ T( t
解得t大于等于0小于等于25/7 又因为t为整数
/ `. G7 y* K- i) F9 u" V 所以t=0,1,2,3(这里不要忘记t有等于0得可能)7 X6 H& t' U' y* ~
当t=0时
* x9 d+ `$ e- s x=0,y=25,z=75' Q* O) J3 [" s9 ?
当t=1时4 X* `3 Y5 `, z
x =4;y =18;z =78$ }0 F* }" n, w* N$ \
当t=2时# Q$ X6 b. y* b- k$ |5 A
x =8;y =11;z =81, b0 f5 @/ H6 v+ H
当t=3时
5 S) ]6 N. y; _ x =12;y =4;z =84
, D! K0 |5 J, y& Y. z编辑本段
4 K& Y0 y6 I0 q. DC语言解法7 e, _2 p* m e6 S l9 g
% m$ v k; B4 C 4 y6 H d' {9 N/ S y8 K7 h# j
#include <stdio.h>% ^: C/ K) R% {* }1 j" {
void main()4 Q, A! F* k( j4 {, A: S; a2 x
{
* C; k2 o3 V8 P+ l! f: kint cocks=0,hens,chicks;0 f0 W* V a. Y5 d. I+ K. s% A- }# X
while(cocks<=20)
B& {" s* K4 V! k" N1 Q{% V" b( T0 ?( G3 p* A, c3 r
hens=0;" A" C% y2 ?; {9 k- k4 @
while(hens<=33)- `6 y. D" O! P0 v2 e* a
{
9 V2 H! {+ d: V# Kchicks=100-cocks-hens;
3 \2 ?. b, |1 h eif(5.0*cocks+3.0*hens+chicks/3.0==100.0)1 d0 I, m4 o% l; r, b
printf("公鸡%d只,母鸡%d只,小鸡%d只\n\n",cocks,hens,chicks);
i7 w# X* [$ b) g7 Lhens++;0 g0 X+ G+ {2 W9 Z: v$ C8 q* j
}( F9 o- k7 g6 _4 N: ^
cocks++;
6 g e+ G. j8 G0 E$ g}' @5 Z6 t3 o$ u
}
' M% ?: [% C' z3 ~输出结果为:* {" u1 k+ T7 g1 i) @% H8 ~) Q
公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
+ G" u" \! C7 f1 U& m* C; ] 公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只6 v- W" D( D. R
公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只- V6 g# X0 h7 F- [
公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
# x. T1 O4 E& ?7 E L! U编辑本段
& q; Z' P! A9 ?8 ^8 E- u& pjava语言解法: {0 o: t$ z" Z+ P/ Z
, c( S$ S- g* U( D* W3 t
public class BaiJiwenti# s9 ]+ |& D1 l
{: _) q& t" R1 n+ R6 S# [# ^0 z
public static void main (String [] args)8 |7 `( y( w- y
{: Z; v- ?6 L7 X6 t6 h
for (int x = 0; x <= 19; x++): d! ~3 S3 i/ A1 c5 E4 h
{
3 }' ^- d7 x: q! E+ k! h for (int y = 0; y <= 33; y++)" V, r# g" ?# O% E8 Q# x
{. \( |5 H/ v! Y1 t
int z = 100 - x - y;
9 f! n8 n" {; Y! U. l if((x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100 ) && z % 3 == 0), I( x4 f g5 @1 C6 q1 N- d
{! u2 \! R5 r S( h7 c1 Y0 z5 Z
System.out.println("可买鸡翁只数:" + x);+ q% l+ `- J! b6 z! P7 B& T+ t$ D/ h
System.out.println("可买鸡母只数:" + y);
& W6 Z+ K: P( S8 G: E) C System.out.println("可买鸡雏只数:" + z);
7 J' _! S% J8 S% g+ B. q2 p }* }; S1 C6 h6 b( Q4 r
}: L* `$ K/ ]* u
}- l; p4 g0 n0 T/ K) r8 S
}9 V9 d9 [7 G$ _( f v! u0 M" I6 h: T
}3 t' F. l# e5 Q" r
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zan
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