百鸡问题

marchboy

百鸡问题
8 b$ B/ J# s% ?/ h
/ a; x  z8 F; U/ b# d　　今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。”
% M3 n2 I8 A" Q+ k9 G$ W2 O编辑本段
原书说明

　　原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
2 o) q! p6 x/ Y6 o6 Y+ L% E9 E编辑本段
4 g9 R! C4 b5 W8 U( ]; T( A# X" }解法

1 _* K3 h  p7 J　　中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5 文钱，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。现在用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？
! }' X7 {9 y# d/ J$ C% |　　这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下：
5 G; q3 y0 p' y4 z) b/ f' u  F　　设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
　　①……x+y+z =100
2 m% u& c$ n% M$ X# R/ v6 V. l　　②……5x+3y+(1/3)z =100
　　有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
5 T' q! O; y) K' K4 Q　　令②×3－①得：7x+4y=100；
　　所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4
　　令x/4=t, （t为整数）所以x=4t
6 g9 g. {, l" I9 \; c　　把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
) j( F# U, b* o/ t　　易得z=75+3t
2 B9 Z  M! N1 S　　所以：x=4t
　　y=25-7t
# r0 `0 T# Q8 r! p9 _7 c. B　　z=75+3t
　　因为x,y,z大于等于0
　　所以4t大于等于0
  z7 w8 {2 @; ^' P$ Y, u* E　　25-7t大于等于0
" X) i$ R3 j4 R2 Z　　75+3t大于等于0
　　解得t大于等于0小于等于25/7 又因为t为整数
/ `. G7 y* K- i) F9 u" V　　所以t=0,1,2,3（这里不要忘记t有等于0得可能）
　　当t=0时
* x9 d+ `$ e- s　　x=0,y=25,z=75
　　当t=1时
　　x =4；y =18；z =78
　　当t=2时
　　x =8；y =11；z =81
　　当t=3时
5 S) ]6 N. y; _　　x =12；y =4；z =84
, D! K0 |5 J, y& Y. z编辑本段
4 K& Y0 y6 I0 q. DC语言解法

% m$ v  k; B4 C　　
#include <stdio.h>
void main()
{
* C; k2 o3 V8 P+ l! f: kint cocks=0,hens,chicks;
while(cocks<=20)
  B& {" s* K4 V! k" N1 Q{
hens=0;
while(hens<=33)
{
9 V2 H! {+ d: V# Kchicks=100-cocks-hens;
3 \2 ?. b, |1 h  eif(5.0*cocks+3.0*hens+chicks/3.0==100.0)
printf("公鸡%d只，母鸡%d只，小鸡%d只\n\n",cocks,hens,chicks);
  i7 w# X* [$ b) g7 Lhens++;
}
cocks++;
6 g  e+ G. j8 G0 E$ g}
}
' M% ?: [% C' z3 ~输出结果为：
　　公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
+ G" u" \! C7 f1 U& m* C; ]　　公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只
　　公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只
　　公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
# x. T1 O4 E& ?7 E  L! U编辑本段
& q; Z' P! A9 ?8 ^8 E- u& pjava语言解法

　　public class BaiJiwenti
　　{
　　public static void main (String [] args)
　　{
　　for (int x = 0; x <= 19; x++)
　　{
3 }' ^- d7 x: q! E+ k! h　　for (int y = 0; y <= 33; y++)
　　{
　　int z = 100 - x - y;
9 f! n8 n" {; Y! U. l　　if((x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100 ) && z % 3 == 0)
　　{
　　System.out.println("可买鸡翁只数:" + x);
　　System.out.println("可买鸡母只数:" + y);
& W6 Z+ K: P( S8 G: E) C　　System.out.println("可买鸡雏只数:" + z);
7 J' _! S% J8 S% g+ B. q2 p　　}
　　}
　　}
　　}
　　}

wssl103050