百鸡问题

marchboy

百鸡问题

, o) C- @4 A% L% Y1 K; c　　今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。”
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原书说明
1 f7 J+ A+ m: T" C
2 c* N8 X9 _1 i! a　　原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
编辑本段
解法
9 v- I* A7 H* ~6 ?! i
　　中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5 文钱，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。现在用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？
　　这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下：
　　设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
0 t% w; A- H9 Q% ~/ d7 h　　①……x+y+z =100
　　②……5x+3y+(1/3)z =100
5 W& o3 G2 s  @) d- ~% e　　有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
　　令②×3－①得：7x+4y=100；
　　所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4
　　令x/4=t, （t为整数）所以x=4t
　　把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
7 x1 |. I" W/ f- z8 x　　易得z=75+3t
　　所以：x=4t
* A, j7 ^- g2 r% r　　y=25-7t
7 d1 f" |% D* S* C- H　　z=75+3t
　　因为x,y,z大于等于0
2 u% S; |$ r& ]& n: D) A. L* H　　所以4t大于等于0
　　25-7t大于等于0
　　75+3t大于等于0
( p, m  R# c- A　　解得t大于等于0小于等于25/7 又因为t为整数
　　所以t=0,1,2,3（这里不要忘记t有等于0得可能）
　　当t=0时
$ H2 e+ V$ U! c9 w/ X" I6 r, G) {　　x=0,y=25,z=75
　　当t=1时
4 _9 `7 f- \( U% r/ |6 Q8 J　　x =4；y =18；z =78
　　当t=2时
5 P% F% `5 ^, D　　x =8；y =11；z =81
- }- i2 c& Q$ @4 T　　当t=3时
　　x =12；y =4；z =84
# f2 n* `+ I# }6 \' w编辑本段
C语言解法

　　
#include <stdio.h>
void main()
9 d  w$ a+ I1 p2 z0 Y5 e{
( [# g6 n9 T/ }int cocks=0,hens,chicks;
while(cocks<=20)
{
3 o) n# ^& o$ p( L) Yhens=0;
6 ]6 b% ]( v* q' H7 nwhile(hens<=33)
' s: F4 ?9 N# r- I, @{
. p; D  u( ?' `, J- t7 r" Z; Cchicks=100-cocks-hens;
if(5.0*cocks+3.0*hens+chicks/3.0==100.0)
printf("公鸡%d只，母鸡%d只，小鸡%d只\n\n",cocks,hens,chicks);
hens++;
" ^+ V& \7 y! ~9 M9 X}
' p0 S0 y2 x4 h& q7 ccocks++;
4 P6 ?! ]7 z. J5 o% l}
}
! N( o+ S8 i3 k输出结果为：
　　公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
" R8 Q0 [2 b+ F4 c　　公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只
　　公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只
　　公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
% r4 A; p* q& {" C# f# l8 v编辑本段
java语言解法

　　public class BaiJiwenti
　　{
　　public static void main (String [] args)
　　{
　　for (int x = 0; x <= 19; x++)
　　{
7 x1 h% @. c8 V8 N0 R　　for (int y = 0; y <= 33; y++)
% x( U) J8 r1 E　　{
2 Y0 n+ L0 {1 D" W9 t　　int z = 100 - x - y;
　　if((x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100 ) && z % 3 == 0)
3 A3 X  v( V, A- s' {* p& o　　{
, Q- r8 b+ f3 ?- ^; a3 U) z/ n　　System.out.println("可买鸡翁只数:" + x);
& ~) s  G- T1 z, `/ l/ W　　System.out.println("可买鸡母只数:" + y);
( y/ x+ [/ y  p) {; |　　System.out.println("可买鸡雏只数:" + z);
9 H- C3 s* w4 s" R- @9 g% Q" Q　　}
　　}
　　}
/ O8 l- m+ N4 r7 f2 P: U* e8 R　　}
3 H- T% s: u, u0 N# T　　}

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