百鸡问题

marchboy

百鸡问题

　　今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。”
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原书说明
9 i. w( Z) S* z' ?
　　原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
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解法
% M  W# ?" D9 C9 \4 C( M
　　中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5 文钱，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。现在用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？
　　这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下：
# \! t: W3 G* o' g5 D$ u5 \: M　　设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
　　①……x+y+z =100
7 Q$ @: O3 N5 A; Q　　②……5x+3y+(1/3)z =100
; W7 j% n. h* B0 c　　有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
　　令②×3－①得：7x+4y=100；
　　所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4
, {; p& m' X. n$ y　　令x/4=t, （t为整数）所以x=4t
; d7 z8 y+ c3 ^( y/ Q8 f　　把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
　　易得z=75+3t
8 L" N  d1 b. T0 l　　所以：x=4t
　　y=25-7t
- Y9 r8 ?0 a# y6 l- g- l9 u- b$ R9 T　　z=75+3t
　　因为x,y,z大于等于0
7 o( v% @3 ^: A  a& X　　所以4t大于等于0
　　25-7t大于等于0
; E: V# z8 R' m' ?" X* I) x　　75+3t大于等于0
6 m7 J- C# z$ B  K　　解得t大于等于0小于等于25/7 又因为t为整数
* Z3 W5 q5 o7 ~* R" v! z( r; s　　所以t=0,1,2,3（这里不要忘记t有等于0得可能）
/ @3 K, T3 l# N# f* L3 p& D% k; R　　当t=0时
% `/ ~' y, W( h! x1 ]( E　　x=0,y=25,z=75
3 R2 v7 i" P  F4 S3 \3 ?' {8 x　　当t=1时
　　x =4；y =18；z =78
" L3 e$ f' w0 B4 I$ ]　　当t=2时
　　x =8；y =11；z =81
* H1 {7 a; a$ t　　当t=3时
; H0 f9 {3 K) `/ N2 n# S$ B　　x =12；y =4；z =84
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' _+ F5 g6 J( V2 ?% k& U9 yC语言解法
7 X2 b3 v2 o# t" C1 `" [
7 d/ C2 w* E$ V$ C  K) c- w, e" L$ ^　　
' d5 q' ~; k' o#include <stdio.h>
3 a; b) {1 K* w! \void main()
{
int cocks=0,hens,chicks;
+ f4 q  {" c: ~6 R6 p% k0 Ywhile(cocks<=20)
  h: W0 T  i- ^; Y4 T{
, p: [8 q# O% E; t5 z: Thens=0;
% b, j' Z: H0 w2 T8 r* {2 w; Rwhile(hens<=33)
3 b9 |' M' @: g, ~. T, W8 t{
chicks=100-cocks-hens;
- U% i8 ?1 l3 N8 ?9 }- Zif(5.0*cocks+3.0*hens+chicks/3.0==100.0)
6 v. u/ d% R) c% a! Yprintf("公鸡%d只，母鸡%d只，小鸡%d只\n\n",cocks,hens,chicks);
) f; i  ]8 H3 I5 r% L: n2 ehens++;
" D; W: _' \: Z- K}
cocks++;
/ u# S- d# ^/ g1 `/ v}
}
输出结果为：
0 c6 j& y2 A" V" d9 ^　　公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
) `' A6 V. N! m" [) j$ y& p　　公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只
: X5 z* `+ k( a, g/ a' ]  W9 J" C　　公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只
4 W  I6 ?! P* I　　公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
! ~$ c" v# G" y8 v: w编辑本段
" [5 o+ R$ E9 P( A; P/ Gjava语言解法

, L  I# ^  N* F" z( v; L　　public class BaiJiwenti
　　{
+ {9 F  W1 R' G1 {7 l, `　　public static void main (String [] args)
　　{
　　for (int x = 0; x <= 19; x++)
　　{
　　for (int y = 0; y <= 33; y++)
　　{
$ [( ?+ S9 M: z* u3 }　　int z = 100 - x - y;
　　if((x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100 ) && z % 3 == 0)
　　{
, x- ?& `  I7 ?3 p" v% `: b　　System.out.println("可买鸡翁只数:" + x);
　　System.out.println("可买鸡母只数:" + y);
　　System.out.println("可买鸡雏只数:" + z);
　　}
4 \: s; N9 T6 U' W　　}
2 V, B) U3 w# m' ~2 f  @2 N　　}
　　}
4 Z9 B9 r( d/ R* Q( m　　}
. H+ @+ }& I$ s; T

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