百鸡问题

marchboy

百鸡问题
' m; L  N5 C3 X: S' l
+ G7 Y) p; \" I7 F; ^7 j! ?　　今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。”
3 V- G3 Z' c( w: p编辑本段
原书说明

6 `) m0 y, Q# x8 a9 Y　　原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
编辑本段
解法
8 o+ {9 t- T4 Z
　　中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5 文钱，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。现在用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？
+ V" k- Y' u# ^" G9 [* n& g　　这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下：
　　设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
& d& i& W; u" s- d0 A　　①……x+y+z =100
　　②……5x+3y+(1/3)z =100
　　有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
% i  }# U! q  [' g$ k5 \　　令②×3－①得：7x+4y=100；
6 H/ S0 [. z# G. U  a　　所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4
# e8 B% e6 F2 R: ?3 i* O　　令x/4=t, （t为整数）所以x=4t
6 b' {3 c2 k; e4 P8 v* z　　把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
7 c$ D1 v- c* ^- I" @　　易得z=75+3t
　　所以：x=4t
; @* r' X" |0 n' s. X. a* ]0 W　　y=25-7t
6 F2 O4 z6 w0 ?8 }2 C　　z=75+3t
: E" C6 L8 O4 A　　因为x,y,z大于等于0
　　所以4t大于等于0
　　25-7t大于等于0
2 Y$ F4 ^. ^7 n3 X　　75+3t大于等于0
　　解得t大于等于0小于等于25/7 又因为t为整数
* V( K5 k4 V. a1 \; U8 S( b' k( U　　所以t=0,1,2,3（这里不要忘记t有等于0得可能）
　　当t=0时
* P4 I  c$ P. u4 ^* S　　x=0,y=25,z=75
　　当t=1时
5 `; i# d) I% p8 E　　x =4；y =18；z =78
. F/ A6 Z: R& v* M8 p. v　　当t=2时
　　x =8；y =11；z =81
; O" t2 ]- _. S) T1 j/ {6 D" Q　　当t=3时
5 m5 p( w  E8 m　　x =12；y =4；z =84
编辑本段
C语言解法

! l4 K- o! \& s4 D( m7 d, f　　
#include <stdio.h>
void main()
$ i6 a, P, g* h6 h{
7 ~1 y4 s4 P7 }" W  pint cocks=0,hens,chicks;
while(cocks<=20)
{
5 @; J" U: E" C$ P" n1 Rhens=0;
while(hens<=33)
* M+ t" T/ K7 p1 i/ P9 P{
chicks=100-cocks-hens;
if(5.0*cocks+3.0*hens+chicks/3.0==100.0)
printf("公鸡%d只，母鸡%d只，小鸡%d只\n\n",cocks,hens,chicks);
( t4 f- m" A+ e" e) K5 {( ghens++;
" C9 d4 y9 u) H2 y( r! l  u7 ]3 A# S$ w}
cocks++;
( _+ P- I' C- Z9 L- c* E6 m}
; P; }) d5 \: {8 f; T+ ~0 L}
3 }; Z1 Y2 {/ I# ]7 t输出结果为：
8 f" C1 P8 s: d' F* Z3 x/ h, }! p　　公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
9 t! v5 t# v1 z' j; m4 Y& Z+ K　　公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只
　　公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只
1 W2 J! s& m8 H$ B" m　　公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
编辑本段
java语言解法
7 P' y# Y' R, ]7 R6 \# H
" {7 [- ^0 s5 C　　public class BaiJiwenti
: e" l2 [+ T1 V) E' X1 c! j　　{
% g9 w! t! b  m' w3 y. a　　public static void main (String [] args)
) B/ A+ l# S7 s& ^9 A; K5 F　　{
9 ^  K  n  X' u+ s; n0 i4 m　　for (int x = 0; x <= 19; x++)
　　{
: X) a! {5 J/ G5 G3 v. Z  j% m　　for (int y = 0; y <= 33; y++)
　　{
7 c. i- s  _7 M1 i" W/ N　　int z = 100 - x - y;
3 S: ?, R# M7 T　　if((x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100 ) && z % 3 == 0)
/ F. L; `" E  B; l8 Y　　{
　　System.out.println("可买鸡翁只数:" + x);
- I( c; u7 J# H/ b& `  C$ K9 a　　System.out.println("可买鸡母只数:" + y);
( E( ~" ^- z! T- \$ }　　System.out.println("可买鸡雏只数:" + z);
　　}
　　}
# r9 q8 M& F6 q! j9 v, e; ~' E　　}
# @" i3 g% i6 Y+ I/ f1 d　　}
1 T6 |  o. x+ K: ^6 F. L　　}

wssl103050