百鸡问题

marchboy

百鸡问题
2 e7 C6 S2 V3 q; X+ N3 a
3 i  m- V# A( L! G% _　　今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。”
编辑本段
2 R, l1 l, b! `( A原书说明
0 D% R, r2 {( N& B0 ^; F' B8 [
　　原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
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. [/ l/ |* c3 w% C+ w# G解法
2 w0 N0 l  L& H
　　中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5 文钱，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。现在用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？
　　这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下：
　　设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
7 `! F5 p6 y6 a+ N+ l3 B3 `　　①……x+y+z =100
　　②……5x+3y+(1/3)z =100
　　有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
: a  w0 H5 G9 f　　令②×3－①得：7x+4y=100；
　　所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4
　　令x/4=t, （t为整数）所以x=4t
5 H6 Z6 _' y6 }& ^　　把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
　　易得z=75+3t
　　所以：x=4t
　　y=25-7t
　　z=75+3t
2 x# J1 k, I# ~) O+ z( S6 v3 S　　因为x,y,z大于等于0
　　所以4t大于等于0
　　25-7t大于等于0
) P6 B$ \7 t0 N9 r; b6 U　　75+3t大于等于0
　　解得t大于等于0小于等于25/7 又因为t为整数
, k8 ]8 R* d5 _1 T' `  y7 C, c6 O　　所以t=0,1,2,3（这里不要忘记t有等于0得可能）
* s8 u# }6 V: c% g$ i0 p: r* {0 C- W　　当t=0时
) N+ p5 |" w/ h2 l  {　　x=0,y=25,z=75
　　当t=1时
　　x =4；y =18；z =78
5 I& P/ O6 _. B+ q$ `% ^# e　　当t=2时
5 m& d5 t( `( Y  S, b　　x =8；y =11；z =81
9 X0 U, r; U) `$ \: _* P! p　　当t=3时
- |" y9 p' N" v0 Y2 h　　x =12；y =4；z =84
, f% K, p2 u- q+ M, {6 S编辑本段
C语言解法
  b3 ?* p+ v' Q6 @3 U3 P
　　
" n% D' s; b6 s0 j1 i- S#include <stdio.h>
void main()
. h: y; {3 t. D/ F2 j% o$ h* }4 y{
int cocks=0,hens,chicks;
while(cocks<=20)
{
" T; i. D- O# A1 T9 vhens=0;
3 J# Y3 l/ [; R9 Y! \+ T. Wwhile(hens<=33)
{
chicks=100-cocks-hens;
if(5.0*cocks+3.0*hens+chicks/3.0==100.0)
6 T# z5 d* H% p! N" n6 x5 }printf("公鸡%d只，母鸡%d只，小鸡%d只\n\n",cocks,hens,chicks);
hens++;
& x- b& O5 J+ \' g1 c0 ^3 A" k7 l}
$ V) B, D5 V  x. Xcocks++;
+ i) Z( I  |" F/ M}
}
2 m7 n( f0 I9 s3 H8 w2 s4 [输出结果为：
+ \' _7 r0 F0 Y　　公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
　　公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只
) R( a0 z0 ^9 L. B' @　　公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只
　　公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
; d9 r7 i( T, _" S编辑本段
java语言解法
, }. |6 ]- A! |) c- ~* n
) w" w4 S" b9 F: Y7 v　　public class BaiJiwenti
/ ?$ q9 ?1 C, r$ j, k7 I　　{
　　public static void main (String [] args)
1 @, Q7 u" @% j& m; A. C6 ^　　{
　　for (int x = 0; x <= 19; x++)
　　{
( t3 @& _5 r$ c- b2 o　　for (int y = 0; y <= 33; y++)
　　{
　　int z = 100 - x - y;
- U6 m3 r( c, }& N% }　　if((x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100 ) && z % 3 == 0)
　　{
( W4 w3 J/ K$ ^8 O* B+ n! H: o% N　　System.out.println("可买鸡翁只数:" + x);
　　System.out.println("可买鸡母只数:" + y);
　　System.out.println("可买鸡雏只数:" + z);
" H; X( x3 `. ?+ P3 G　　}
　　}
8 M: ^3 a+ S7 s$ f8 u　　}
　　}
　　}
8 C6 h* ?, o3 O" X

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