百鸡问题

marchboy

百鸡问题
( ~- ^3 P7 b2 j, r7 f$ D/ ]
　　今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。”
" o5 z% j) J7 L" G  [; o- q编辑本段
原书说明

　　原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
( N9 N; }% N8 p. j) ~编辑本段
9 h8 N1 c% i% n' |解法

6 `+ A( S# [$ a( O0 `　　中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5 文钱，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。现在用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？
　　这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下：
3 T  M$ Q5 `7 g# u4 ?3 O　　设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
0 I8 t4 B( f* k9 c- p" `4 f# {　　①……x+y+z =100
　　②……5x+3y+(1/3)z =100
　　有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
　　令②×3－①得：7x+4y=100；
; T$ |" \" z% d2 @& k4 n9 H$ A: \　　所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4
$ D8 j* t; K4 d9 P3 m. C. J　　令x/4=t, （t为整数）所以x=4t
　　把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
　　易得z=75+3t
3 \: _. j0 M% M# K　　所以：x=4t
　　y=25-7t
( k! {  e5 ~$ g6 ^8 }4 W& h　　z=75+3t
　　因为x,y,z大于等于0
　　所以4t大于等于0
　　25-7t大于等于0
　　75+3t大于等于0
　　解得t大于等于0小于等于25/7 又因为t为整数
- g/ @4 J8 C, K! ~　　所以t=0,1,2,3（这里不要忘记t有等于0得可能）
4 C8 L3 E+ i/ y" F" z6 P7 ]: t　　当t=0时
% r) J9 e" l. P2 t6 v　　x=0,y=25,z=75
3 {3 ?' h) B0 T$ f　　当t=1时
　　x =4；y =18；z =78
　　当t=2时
　　x =8；y =11；z =81
$ L  P9 w$ n! E! `" r: ?　　当t=3时
6 N3 T" m( H9 z) H+ y, k　　x =12；y =4；z =84
编辑本段
" @; G3 g0 N0 H8 K- YC语言解法
3 }" l' d  P- n  _" v
　　
8 k+ T9 y( C" A#include <stdio.h>
void main()
{
int cocks=0,hens,chicks;
while(cocks<=20)
1 i3 |! W: E& K% @{
/ P! ?! J" G% @  c! P- fhens=0;
while(hens<=33)
0 ~& W; b) k; @$ V: L1 N{
+ b# j6 u* v* Nchicks=100-cocks-hens;
if(5.0*cocks+3.0*hens+chicks/3.0==100.0)
- b, I  E2 D0 g$ s' N1 ]. Jprintf("公鸡%d只，母鸡%d只，小鸡%d只\n\n",cocks,hens,chicks);
' b4 M- C8 f( w% s: Y4 E- Fhens++;
}
" y( L+ l" U3 a" [/ F% M% O0 Tcocks++;
}
}
8 K# ?7 h2 [, F* v# g输出结果为：
　　公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
& X6 i) l! n# M' \+ s$ D: ~　　公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只
　　公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只
　　公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
% w8 D9 d1 c! P* ]6 n编辑本段
9 U6 _* {, s% X& {4 h6 J8 t3 r- u. Wjava语言解法

　　public class BaiJiwenti
. d* c5 S! E) x& P, y) w6 ]2 A　　{
. P4 M4 d  y; ?& F8 H' k: k　　public static void main (String [] args)
　　{
　　for (int x = 0; x <= 19; x++)
　　{
% H- a  V! E( P5 [/ [6 ?　　for (int y = 0; y <= 33; y++)
# J  {( V& }- L. x7 n　　{
　　int z = 100 - x - y;
1 W) _. e: `3 E8 t　　if((x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100 ) && z % 3 == 0)
( Q" \/ T$ k6 Z- M　　{
, O3 l& h( u$ N* R　　System.out.println("可买鸡翁只数:" + x);
　　System.out.println("可买鸡母只数:" + y);
  H3 Y9 @. z5 v& Y+ J　　System.out.println("可买鸡雏只数:" + z);
　　}
. u) W; c, T. V5 e# ]3 ]- W! H　　}
6 I5 C7 K! `9 e- _: b" `　　}
　　}
1 U, Y! z( f" |& c　　}

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