百鸡问题

marchboy

百鸡问题
6 V4 K; S  m3 F$ r* s- q9 d1 T
　　今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。”
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0 K+ O  h' D6 _6 S  k; w原书说明

　　原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
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$ c0 V( N' d& U解法

　　中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5 文钱，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。现在用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？
( B2 j) |* y" ^& _+ J: ], t　　这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下：
　　设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
! S  e2 O7 [' T" j　　①……x+y+z =100
# A* j8 h: ]& f3 _3 i" u　　②……5x+3y+(1/3)z =100
+ }3 u. }' e7 z3 t" C5 [: Z　　有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
　　令②×3－①得：7x+4y=100；
  ~2 i1 ^7 `( I1 }: i" V! r2 S/ t　　所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4
8 k9 u' u# n- [* [7 E# A　　令x/4=t, （t为整数）所以x=4t
　　把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
　　易得z=75+3t
3 t8 k) ^: B, T( F$ C% U! `　　所以：x=4t
1 K0 p6 y8 t6 t% [+ k　　y=25-7t
　　z=75+3t
　　因为x,y,z大于等于0
　　所以4t大于等于0
　　25-7t大于等于0
　　75+3t大于等于0
　　解得t大于等于0小于等于25/7 又因为t为整数
$ B( b& v' \5 R3 i　　所以t=0,1,2,3（这里不要忘记t有等于0得可能）
( k- e0 J" y+ c  n& X7 Q　　当t=0时
　　x=0,y=25,z=75
8 v5 c3 {! C. _. y# ^　　当t=1时
5 n8 B+ p% J. A　　x =4；y =18；z =78
　　当t=2时
* D& l- I/ @) n: F　　x =8；y =11；z =81
　　当t=3时
3 ?1 s' |% V4 K& n9 k+ Q! p　　x =12；y =4；z =84
& l9 Q! J; ^, |编辑本段
C语言解法

0 S* R4 ^; }5 L' \& u& P! |　　
5 e! y9 `, w2 ^5 I( e9 j#include <stdio.h>
void main()
{
' |# `" m/ ~3 c- P- ]1 O. r2 Xint cocks=0,hens,chicks;
) |# z: M% C9 ~5 Kwhile(cocks<=20)
& r# J+ R3 n/ M) _( h4 g( F7 I. v{
hens=0;
while(hens<=33)
7 Q7 k* U/ D! Q/ k  _/ |{
chicks=100-cocks-hens;
if(5.0*cocks+3.0*hens+chicks/3.0==100.0)
printf("公鸡%d只，母鸡%d只，小鸡%d只\n\n",cocks,hens,chicks);
$ M7 \1 J3 |# u$ t) vhens++;
}
3 [1 _" Z! _' k! E- c8 \cocks++;
( ~; _( Y& F' H4 t  E+ P: d}
}
) N$ y) e* ]: B) K, R. p4 M输出结果为：
( J: V- T: p1 k) y& o　　公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
　　公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只
  u$ M, G' X9 ^6 u  y! D: i  |　　公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只
2 n' g7 p0 Z' K' V7 J　　公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
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java语言解法
5 r" o0 |4 }3 `0 A% s+ A0 |
+ S/ Q/ R6 S' R; D3 L" _  e$ A　　public class BaiJiwenti
* t* s: \  `. N: a) c8 M4 t　　{
9 M6 V8 e6 [! Y, |* v' {　　public static void main (String [] args)
　　{
- X6 K0 ^& n* }1 j/ m0 y　　for (int x = 0; x <= 19; x++)
8 ?! a" C. F+ _- O5 y* n　　{
　　for (int y = 0; y <= 33; y++)
& w) z( F8 t! `# T4 c) \; q! t+ ^　　{
　　int z = 100 - x - y;
6 D  f* \. u6 q　　if((x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100 ) && z % 3 == 0)
　　{
& b# b4 m+ f, ~. ?3 }, E　　System.out.println("可买鸡翁只数:" + x);
　　System.out.println("可买鸡母只数:" + y);
% t+ Q6 a- r( {' _$ d0 {' O　　System.out.println("可买鸡雏只数:" + z);
　　}
4 ^3 f; v' x5 i　　}
5 {$ D# A4 u8 i0 v& u　　}
　　}
/ j4 G. n6 A/ A　　}
/ a9 D( e2 w2 f! s7 o  i; A

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