百鸡问题

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百鸡问题

9 ^/ u2 C/ H2 B　　今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。”
编辑本段
# [, S. k1 u. G" C  h$ ]原书说明

　　原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
5 T8 G( n, e. y0 A0 `编辑本段
/ n; @! ~* u/ z% N3 h3 ^解法
8 }: }. e6 x* `/ g
( j1 q. T  W- j3 c& [5 Z3 _' s' P　　中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5 文钱，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。现在用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？
- Y! B7 R+ {# ~　　这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下：
　　设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
0 z8 y- j; n; z3 k0 F　　①……x+y+z =100
　　②……5x+3y+(1/3)z =100
　　有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
　　令②×3－①得：7x+4y=100；
9 y5 F# ~$ |1 @- h2 B: ^0 p' m　　所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4
　　令x/4=t, （t为整数）所以x=4t
6 j3 F2 ^, z3 `　　把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
; b# V1 S3 o5 |- M　　易得z=75+3t
; `' [% l. `$ ^& u+ [$ I3 u　　所以：x=4t
　　y=25-7t
/ i6 A0 V" b1 C4 ?　　z=75+3t
  ~& e/ B8 {) R　　因为x,y,z大于等于0
　　所以4t大于等于0
　　25-7t大于等于0
　　75+3t大于等于0
　　解得t大于等于0小于等于25/7 又因为t为整数
5 a" T+ ]. U, ~3 G5 L9 L5 i　　所以t=0,1,2,3（这里不要忘记t有等于0得可能）
　　当t=0时
　　x=0,y=25,z=75
' y( t+ t: ]% a* f6 y: b　　当t=1时
% S( g* Y. B0 R4 B　　x =4；y =18；z =78
+ |8 l# n' X, _8 q9 }$ x+ a　　当t=2时
　　x =8；y =11；z =81
　　当t=3时
  ^% ?. B0 w  I" I4 A　　x =12；y =4；z =84
1 }8 J! K- d1 O# g& y7 {2 t1 [编辑本段
C语言解法

　　
#include <stdio.h>
void main()
* w  w( m; v) s1 `' Y8 q5 p: z{
: B$ {6 ~' r( y8 X$ }int cocks=0,hens,chicks;
! E7 L7 n5 v. R9 Y* j9 Y( Zwhile(cocks<=20)
{
/ C4 @6 o+ u8 e2 {5 hhens=0;
9 F+ z: \' q7 B& swhile(hens<=33)
{
0 g; x+ V3 [  Jchicks=100-cocks-hens;
if(5.0*cocks+3.0*hens+chicks/3.0==100.0)
( p& \3 W  _' p" R6 _2 ], lprintf("公鸡%d只，母鸡%d只，小鸡%d只\n\n",cocks,hens,chicks);
hens++;
}
cocks++;
! ]7 _2 X$ }8 v) [! @}
# ~, a  Z, A* I- d) w}
输出结果为：
: T7 |  Q7 g% B　　公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
　　公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只
0 u9 o. q8 i5 A' A% ]; {　　公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只
6 S' S. V7 [, f) {- n7 L9 P　　公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
  a& y. ]; N- }  U* i9 s8 V编辑本段
, F  {+ A9 i! e2 U( Qjava语言解法
( ?% j0 ], ]! l" n- k' z( c
* d) U* \* S; G7 I+ B, J" z# D5 {* @　　public class BaiJiwenti
　　{
　　public static void main (String [] args)
# ^" K7 v! K% p　　{
/ B8 J' \2 a0 q$ @+ o　　for (int x = 0; x <= 19; x++)
' F' R7 @" |* [" X" R　　{
; i8 i8 a4 Y6 X2 q- L' Q　　for (int y = 0; y <= 33; y++)
　　{
+ l' M. F" P5 J0 L6 U/ D5 I) [* J　　int z = 100 - x - y;
& n0 f( A) K% g! s. A2 y; }' [/ p& r　　if((x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100 ) && z % 3 == 0)
　　{
　　System.out.println("可买鸡翁只数:" + x);
) [* x) t# [  N  f　　System.out.println("可买鸡母只数:" + y);
& V& v5 q' t7 j. r! q　　System.out.println("可买鸡雏只数:" + z);
  K) Q. H' N  ~% `# I　　}
% f( _; d- F! q& d0 g/ H2 q　　}
0 q5 _4 @$ Y6 m4 I$ W+ o: `　　}
　　}
2 p( \- M$ H8 b4 e& k- L' Q* X. C　　}
* B/ q7 i5 Q9 y" a5 F$ C

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