百鸡问题

marchboy

百鸡问题

0 J, \$ b3 w9 o6 r  f! ~6 s　　今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。”
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+ R( ?; j3 s* B/ @  C* r( v原书说明

. _9 i/ g8 B* R2 z* z5 w) Z3 w　　原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
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6 O+ h7 P8 g7 P解法

: Z  M3 P7 e; M- m2 X# t+ H　　中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5 文钱，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。现在用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？
　　这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下：
　　设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
- _: e( D6 s- a5 W　　①……x+y+z =100
　　②……5x+3y+(1/3)z =100
! e1 S5 @) G2 i: @" v　　有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
$ k2 V( f# K5 o　　令②×3－①得：7x+4y=100；
1 J  R% `6 y- S" x* \1 ^　　所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4
　　令x/4=t, （t为整数）所以x=4t
　　把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
　　易得z=75+3t
' i5 R5 \" y$ y" D- {0 N　　所以：x=4t
! _: c5 h% g* U' J( M　　y=25-7t
# d/ _* A$ |  @, ^; s　　z=75+3t
　　因为x,y,z大于等于0
( s5 W  A: }! W$ c6 K! K　　所以4t大于等于0
　　25-7t大于等于0
* ]- L% G6 a1 n8 \　　75+3t大于等于0
　　解得t大于等于0小于等于25/7 又因为t为整数
　　所以t=0,1,2,3（这里不要忘记t有等于0得可能）
　　当t=0时
　　x=0,y=25,z=75
　　当t=1时
& @. d: [/ w- h$ @) c  g　　x =4；y =18；z =78
　　当t=2时
　　x =8；y =11；z =81
  b7 w' R) {- d8 ~　　当t=3时
. r, l2 n5 y; i9 r! G9 n　　x =12；y =4；z =84
7 ~8 K/ Y; J$ g8 r( ?- g9 ?! y编辑本段
C语言解法

　　
#include <stdio.h>
void main()
{
3 s* f; E' B- g# h- tint cocks=0,hens,chicks;
while(cocks<=20)
{
: F& ~% i5 b4 K. @8 A6 ehens=0;
while(hens<=33)
. v* _' ~8 ]( {# t- _9 h{
chicks=100-cocks-hens;
if(5.0*cocks+3.0*hens+chicks/3.0==100.0)
9 N$ n2 ?3 Y5 g$ N! g" o$ `1 [printf("公鸡%d只，母鸡%d只，小鸡%d只\n\n",cocks,hens,chicks);
hens++;
}
' b' o0 {7 k6 u9 k, ]7 Mcocks++;
}
& v* o9 A  m. U( M' Z}
输出结果为：
　　公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
- w9 f" U- q$ q  k　　公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只
　　公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只
5 }7 _! G7 c% \  {% Y' h8 ]  J　　公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
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java语言解法
3 T) d  m5 \9 v. A
2 ]9 q  J  O6 R% S  D. F$ P　　public class BaiJiwenti
　　{
　　public static void main (String [] args)
& {  K9 I! P" c. }1 ~　　{
　　for (int x = 0; x <= 19; x++)
　　{
　　for (int y = 0; y <= 33; y++)
4 v3 M$ E5 B( x" G9 Q9 v; ?" W% D9 y　　{
　　int z = 100 - x - y;
　　if((x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100 ) && z % 3 == 0)
　　{
　　System.out.println("可买鸡翁只数:" + x);
. V+ P* F7 m' ]$ T7 {- v　　System.out.println("可买鸡母只数:" + y);
# w) v3 R) ^: l. x: |( t; U+ X　　System.out.println("可买鸡雏只数:" + z);
' N, c8 B5 ]- f3 x$ d　　}
　　}
- U6 P4 w' |& W. C$ V　　}
% k: d8 o% |; B' r9 a! R0 q: O( R　　}
　　}
. |2 \! m% S! P/ U. e

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