百鸡问题

marchboy

百鸡问题
3 U' ~$ \1 m0 [
/ i1 O2 f! F# M0 t- ?% A　　今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。”
" _: A0 r3 @# k- S- b* B; Y编辑本段
原书说明
# D" d) I$ b# g. j4 f
　　原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
' S$ A# b& P7 o% ~! E编辑本段
* G; N" Y1 O  Q1 `解法

" ^) `! W) m. E- g　　中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5 文钱，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。现在用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？
, R% X- B) q, E　　这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下：
3 x. L0 Y; S2 Y: R. c　　设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
! w- Y! s! e9 k) m( q, P　　①……x+y+z =100
　　②……5x+3y+(1/3)z =100
! Q" R8 c7 a" q( A* v" T: f　　有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
$ `8 ?- ]/ N4 j6 N4 |( S1 u! H　　令②×3－①得：7x+4y=100；
　　所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4
6 b7 q" N, x: f6 G　　令x/4=t, （t为整数）所以x=4t
　　把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
- r+ Y6 g1 ?' n* `　　易得z=75+3t
! m' [) s# h. ]% `) o9 [　　所以：x=4t
% _# M, [$ D% n( X/ T) b6 U　　y=25-7t
. o8 l3 D& _5 Y( o　　z=75+3t
　　因为x,y,z大于等于0
5 w- k7 v/ ^1 Y) L( `　　所以4t大于等于0
$ @" Q2 p  N# n# j8 c( U* F　　25-7t大于等于0
$ D0 B# ]+ ^7 @' ]  ^　　75+3t大于等于0
　　解得t大于等于0小于等于25/7 又因为t为整数
+ u* U; p7 g5 N4 @$ E3 H　　所以t=0,1,2,3（这里不要忘记t有等于0得可能）
　　当t=0时
　　x=0,y=25,z=75
/ ?6 E2 P5 t1 K" ?8 O! |　　当t=1时
( y0 e. k) `5 h( h　　x =4；y =18；z =78
　　当t=2时
/ D: f# _* ~, U　　x =8；y =11；z =81
' a# Y" S" l5 s8 O　　当t=3时
　　x =12；y =4；z =84
$ F/ f: d4 ^2 n编辑本段
C语言解法
  ~, n0 Q( [# M) q. I, T4 U$ d  Z
　　
#include <stdio.h>
8 O1 S7 A' \4 a$ ]1 J" ]9 Qvoid main()
{
  I, `8 @) \* _int cocks=0,hens,chicks;
2 u% r# A5 e( \6 h8 |% h( ]while(cocks<=20)
{
hens=0;
while(hens<=33)
{
chicks=100-cocks-hens;
if(5.0*cocks+3.0*hens+chicks/3.0==100.0)
printf("公鸡%d只，母鸡%d只，小鸡%d只\n\n",cocks,hens,chicks);
. ]) ]# G7 K( s5 p, p/ @hens++;
}
cocks++;
5 [' [3 b& Q! u: O}
}
) U1 V- T! u# R输出结果为：
' l2 ?4 i' q' r' p( r: q　　公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
　　公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只
! f1 ^  E# P' e6 w0 C　　公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只
6 V' O! k( u* u* @2 e1 p　　公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
编辑本段
9 I" h, ~" q. H* n) ~" N9 Sjava语言解法

　　public class BaiJiwenti
) F) F) P% o: m$ n2 x2 s: ]　　{
! r, q' U. m4 S2 z( I- s2 s　　public static void main (String [] args)
9 `! T7 @: ]* _　　{
3 w- u# g3 U. }% T　　for (int x = 0; x <= 19; x++)
　　{
　　for (int y = 0; y <= 33; y++)
; z8 r" f. c" A. @, r$ i% d1 @　　{
　　int z = 100 - x - y;
　　if((x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100 ) && z % 3 == 0)
2 u" p; N' N+ a( m　　{
　　System.out.println("可买鸡翁只数:" + x);
' a5 Q" E2 }6 Q5 f7 G4 F3 B　　System.out.println("可买鸡母只数:" + y);
4 I) ~; q4 ~- g/ i- b8 m+ N( Y　　System.out.println("可买鸡雏只数:" + z);
　　}
$ o' B4 E# ]8 o" E　　}
　　}
8 Z2 |7 x, V: y( G. P4 b% K5 p; c　　}
4 G& p$ |; Y/ W: }2 H' W　　}

wssl103050