百鸡问题

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百鸡问题
- Z+ N. e- q- Y' q1 h3 p
$ i) {1 B) J' d; W1 @　　今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。”
编辑本段
+ s4 j5 b' n) H- B) h+ t原书说明

+ A7 R7 |8 ?- S0 W. ]; U% A- j8 j+ F　　原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
* g5 Q; p* j% e编辑本段
- `. M. |8 c% ^$ m6 `) f解法
# K6 D# |3 G0 n: |2 i
　　中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5 文钱，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。现在用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？
　　这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下：
　　设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
　　①……x+y+z =100
& Q0 ]  w- ?' V, Q　　②……5x+3y+(1/3)z =100
% z* q) ^9 t# X4 R　　有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
　　令②×3－①得：7x+4y=100；
　　所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4
　　令x/4=t, （t为整数）所以x=4t
8 K" O; u% `4 J5 Q  L: ^　　把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
. K; ~5 e) |* j. [! ]　　易得z=75+3t
4 X; b! M- F: Q/ r6 a/ _　　所以：x=4t
　　y=25-7t
; \! S0 V& v* Y+ Y. l* ^1 W　　z=75+3t
# k8 o* {, B4 c　　因为x,y,z大于等于0
　　所以4t大于等于0
+ e$ h/ o# y( ~　　25-7t大于等于0
　　75+3t大于等于0
, a' P( @5 T8 c; q　　解得t大于等于0小于等于25/7 又因为t为整数
' v9 @& N  q) Q% f6 y' d4 b　　所以t=0,1,2,3（这里不要忘记t有等于0得可能）
　　当t=0时
5 m4 w4 Y1 ]" \; _* L: e　　x=0,y=25,z=75
/ M$ y4 o7 i. S8 [6 h　　当t=1时
　　x =4；y =18；z =78
　　当t=2时
　　x =8；y =11；z =81
8 W% [9 o& e# ?; K$ T　　当t=3时
　　x =12；y =4；z =84
编辑本段
C语言解法

　　
#include <stdio.h>
7 k6 p$ c) p" Q: P. g$ p  x. nvoid main()
; F! d2 z  w) L$ r: K; G{
int cocks=0,hens,chicks;
1 g$ C& C% f/ O6 fwhile(cocks<=20)
; t* Q8 ?# v( b{
hens=0;
while(hens<=33)
{
chicks=100-cocks-hens;
if(5.0*cocks+3.0*hens+chicks/3.0==100.0)
8 @: A8 z2 S& l0 [printf("公鸡%d只，母鸡%d只，小鸡%d只\n\n",cocks,hens,chicks);
hens++;
3 }- o3 Y. E7 k* f}
cocks++;
  f1 q3 W" c. \9 T* }}
4 J4 k0 i+ W* B3 J2 a- ?2 b}
输出结果为：
　　公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
+ z* \; S6 N6 r+ U  k. C! S/ W　　公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只
) ^1 @) K# p, A1 H' J( E　　公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只
9 B. u/ J% G9 Y  U( {' \　　公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
' y* J% Z) u+ Q编辑本段
- I/ t4 T# b" X$ _6 jjava语言解法

! i9 M% o( O* P　　public class BaiJiwenti
9 \6 I# l6 Z* R, g6 k　　{
　　public static void main (String [] args)
- W5 I3 j9 a; i  Y5 }) u8 a　　{
' ^6 S6 i/ u1 d+ C/ G% B　　for (int x = 0; x <= 19; x++)
$ D  l8 ?6 j" t　　{
5 s6 y2 T/ H) L( }8 _; c　　for (int y = 0; y <= 33; y++)
! x% @  v8 E3 x) g; I　　{
" S3 n& Q6 A$ y2 I8 p, B% X　　int z = 100 - x - y;
　　if((x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100 ) && z % 3 == 0)
; y! p/ K9 S+ z- j- ^2 _5 @　　{
( `  a+ _. @# p6 B　　System.out.println("可买鸡翁只数:" + x);
0 h: u3 C9 R- N　　System.out.println("可买鸡母只数:" + y);
　　System.out.println("可买鸡雏只数:" + z);
2 o6 s+ }& c/ y1 o$ U9 G# \0 H　　}
5 u( x, Z, H% y; P8 W* p, _　　}
　　}
4 a) p% z# L" L　　}
　　}

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