百鸡问题

marchboy

百鸡问题
0 q4 Z0 k4 j& B( @, T! l
3 }$ R( s0 g  m& U7 d0 `　　今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。”
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原书说明

! v, Q* z0 P; s2 H1 i& l# l　　原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
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解法
$ e  o) L* Y! A- c
- D+ W: N( _8 X8 ^4 m# a: ~6 k　　中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5 文钱，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。现在用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？
$ e4 Y" b# B' q+ M　　这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下：
/ o* ~6 p+ c: f$ i$ T! V　　设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
　　①……x+y+z =100
　　②……5x+3y+(1/3)z =100
0 [- d, u( ~; {7 ]' s　　有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
　　令②×3－①得：7x+4y=100；
　　所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4
　　令x/4=t, （t为整数）所以x=4t
& J6 F' c2 l+ ~0 H　　把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
. U, ^* @/ f) A$ ]9 ~/ _+ A　　易得z=75+3t
, E& P2 D% @" e3 l　　所以：x=4t
　　y=25-7t
　　z=75+3t
　　因为x,y,z大于等于0
　　所以4t大于等于0
　　25-7t大于等于0
( v- ~- I0 y2 ?$ ^6 P8 U# k( u　　75+3t大于等于0
5 |9 `  k8 Z# m: b: |3 L% T6 q　　解得t大于等于0小于等于25/7 又因为t为整数
- L4 k- U7 }4 Y# n5 D! e0 _　　所以t=0,1,2,3（这里不要忘记t有等于0得可能）
- T* ^. a) l9 I* a　　当t=0时
　　x=0,y=25,z=75
! i& L+ a$ j4 Z! ^/ b- J　　当t=1时
　　x =4；y =18；z =78
　　当t=2时
　　x =8；y =11；z =81
. G: I" Q, Z- n, a2 f0 e) k　　当t=3时
+ y  l; s" T. T6 |0 @* }9 K　　x =12；y =4；z =84
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C语言解法
' V0 Y9 N/ H9 R. Y; ?4 n/ E
　　
% J' T& Q: L4 u* o# i/ K/ N#include <stdio.h>
void main()
) S# T# q( E. a% v- \* [6 h; W{
" I4 w5 j7 s; M1 K$ {# b" x' mint cocks=0,hens,chicks;
while(cocks<=20)
, J- N6 g$ c9 `4 z% ^{
hens=0;
/ c+ \& ]0 M8 o1 nwhile(hens<=33)
{
chicks=100-cocks-hens;
: b( C# p! J+ tif(5.0*cocks+3.0*hens+chicks/3.0==100.0)
printf("公鸡%d只，母鸡%d只，小鸡%d只\n\n",cocks,hens,chicks);
# E  r. [4 S% P! H# L, t# `hens++;
) |: C7 z& j8 k8 s4 b. F  V1 q, `}
, f8 ^9 |! E( i% f6 ?% D" `( rcocks++;
5 [5 F9 |/ l: G! J}
}
( |8 S5 Q9 {: t6 l4 j3 x% j  _9 u输出结果为：
; h8 G: p1 V; |　　公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
　　公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只
　　公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只
　　公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
4 R( X# B, h; {+ [' `1 M3 a6 @" p编辑本段
; q, ], F+ [0 I5 f9 d: tjava语言解法
6 }& L+ b3 [) K  @
2 h' T$ ~" j9 ^, m" d5 c- k6 V　　public class BaiJiwenti
　　{
　　public static void main (String [] args)
　　{
$ D+ [- t8 U. y8 B% h　　for (int x = 0; x <= 19; x++)
% C* d' s! a: X8 Q& q　　{
5 `9 l6 h4 ?( U. G/ F$ ~　　for (int y = 0; y <= 33; y++)
. L0 J  K; B' n　　{
　　int z = 100 - x - y;
' r0 y$ s1 n- H　　if((x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100 ) && z % 3 == 0)
( p! j4 A& e4 D! s- P　　{
　　System.out.println("可买鸡翁只数:" + x);
　　System.out.println("可买鸡母只数:" + y);
　　System.out.println("可买鸡雏只数:" + z);
　　}
　　}
　　}
/ b2 H7 Q, p% S# q2 j, k0 d$ M1 X　　}
( V- g% b8 A* y　　}

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