百鸡问题

marchboy

百鸡问题
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3 L8 F2 a6 p' J　　今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。”
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原书说明
  g0 S  s! F2 w5 ^# p
% q+ x: K; h- z7 O# ]' r　　原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
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解法

　　中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5 文钱，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。现在用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？
2 g: o0 L5 _- t2 R3 T　　这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下：
, y5 c: {% c! ?6 ?& b1 {　　设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
! t% r8 [6 L* W- S　　①……x+y+z =100
　　②……5x+3y+(1/3)z =100
　　有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
　　令②×3－①得：7x+4y=100；
2 N) E2 N  X3 \　　所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4
6 w/ n/ k6 K$ N　　令x/4=t, （t为整数）所以x=4t
　　把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
3 u6 f/ ^) q+ x2 P8 M6 B0 p2 l　　易得z=75+3t
) w; {/ H) ]! @; F( o　　所以：x=4t
　　y=25-7t
8 C+ T8 K& E  _! e9 J' U9 o3 S3 G% L　　z=75+3t
　　因为x,y,z大于等于0
　　所以4t大于等于0
　　25-7t大于等于0
　　75+3t大于等于0
　　解得t大于等于0小于等于25/7 又因为t为整数
　　所以t=0,1,2,3（这里不要忘记t有等于0得可能）
2 T3 I- {- o+ T" c1 b　　当t=0时
　　x=0,y=25,z=75
3 n; @+ D0 }6 s# m　　当t=1时
! S  j: e5 ]* M! r6 D; z1 R　　x =4；y =18；z =78
$ D2 G2 p% Y* [　　当t=2时
# H' i0 @, l* u4 `$ V% k- V7 H' B　　x =8；y =11；z =81
; i* K$ ?% C6 H8 U$ z0 c. `　　当t=3时
　　x =12；y =4；z =84
- R: D3 m3 B5 R8 j$ K9 V/ L% s编辑本段
C语言解法

　　
# ^( ^6 p" J0 I5 x1 r) i#include <stdio.h>
void main()
{
8 N: p( f! g' F' U- G/ yint cocks=0,hens,chicks;
while(cocks<=20)
{
/ {6 i' P( P8 O* e+ j' w2 fhens=0;
" ~7 s  c* y/ A/ b2 z7 e. `: z: Pwhile(hens<=33)
' B  J7 Z& V! U. h{
chicks=100-cocks-hens;
if(5.0*cocks+3.0*hens+chicks/3.0==100.0)
printf("公鸡%d只，母鸡%d只，小鸡%d只\n\n",cocks,hens,chicks);
2 D$ z! V, S. H; `& zhens++;
}
( j" Q1 C% n8 z1 F* b! @cocks++;
; s5 Y, _' R3 z9 D# K2 n" S}
}
5 \; f7 f3 o* C) B# m! Q9 b  E输出结果为：
$ _* V; n$ a4 Z6 e3 y! E2 A: n3 S　　公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
" r! U/ _" A6 A2 m　　公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只
) P+ v) X3 c8 Q+ ^" B, P　　公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只
( D* s, b" A, L: U3 {. H. E$ Z' P　　公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
. z3 ^7 ?' J, X) C- ?5 x/ m编辑本段
+ ~) ]) Y3 h7 W& gjava语言解法
3 L6 @2 I- t" g! u; w+ I
　　public class BaiJiwenti
　　{
6 o) E& c2 o  N; n0 q　　public static void main (String [] args)
" h$ v3 Q7 y0 `1 D+ d; w: \　　{
　　for (int x = 0; x <= 19; x++)
5 G; o4 [" ]6 q) L　　{
　　for (int y = 0; y <= 33; y++)
　　{
　　int z = 100 - x - y;
　　if((x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100 ) && z % 3 == 0)
　　{
　　System.out.println("可买鸡翁只数:" + x);
　　System.out.println("可买鸡母只数:" + y);
　　System.out.println("可买鸡雏只数:" + z);
　　}
1 X) r) L6 S$ s% C* y0 m　　}
　　}
　　}
　　}

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