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本帖最后由 lili456 于 2012-5-28 11:31 编辑
# c6 v$ ]% f9 Y4 e8 t
( i; ]/ m+ D& \5 u' N: t* a6 g5.1.3 多项式乘法和除法9 Z$ P. q, U" y/ m! ~% J0 L6 Q
在MATLAB中,使用函数conv()对多项式进行乘法运算。其调用格式为c=conv(a, b),a和b为多项式的系数向量,该函数实现向量a和b的卷积,在代数上相当于多项式a乘以多项式b,其中c为相乘所产生的多项式的系数向量。
: M( y+ ]. a3 T9 G& [4 c- w4 o0 }【例5-6】 求多项式 和 的乘积。采用函数conv()实现,其MATLAB程序如下:: D4 S( B" e; P2 p2 H
7 O1 Y) @, W5 c$ d2 kp1=[4 2 0 5]; %缺少的幂次用0补齐0 b% M: v. j) B+ N
p2=[5 8 1];
8 _8 E7 _* X2 B5 G( Jy1=poly2sym(p1) }/ t. S0 y: U) b, L( Y# {. a5 f
y2=poly2sym(p2)3 p" }; P3 q* q3 t
p3=conv(p1,p2); %多项式相乘; g% k: _* N* k* C5 t
y=poly2sym(p3)6 x7 z5 u% c* C: D
* L" a* c$ ?* |) z1 G运行程序后,输出结果如下:
% B- Q9 K( J& B* S
( S& P. x6 Q# m, G/ Jy1 =
2 d* t+ e3 l" U4*x^3+2*x^2+5
; o& Q' z1 y: Gy2 =
" o6 ?+ e+ @/ ?0 V! \9 m5*x^2+8*x+1$ g- o& L/ k1 o# W2 k1 U2 u
y =4 }2 j* B; W( l% V3 ^0 x6 `
20*x^5+42*x^4+20*x^3+27*x^2+40*x+5 R! B! A2 a; @# N3 m
p. Z6 f' Y$ e+ B1 S
在MATLAB中,采用poly2sym()函数将向量作为多项式的系数进行输出,和其相对应的函数是sym2poly(),该函数将输入多项式的系数提取出来,作为向量进行输出。对于例5-6程序也可以用poly2sym()函数实现(和例5-6的计算结果相同),其MATLAB程序如下:
1 _; ]2 G: S/ R, n+ n+ p. P. v7 i0 Y2 I# G! u
>> syms x9 ^2 f3 t! m2 ^, }) D
p1=sym2poly(4*x^3+2*x^2+5)
6 k, _' m" k$ k3 J+ Cp2=sym2poly(5*x^2+8*x+1)
1 @9 U4 G6 ?8 \7 T# |p3=conv(p1,p2); %多项式相乘
! A$ u( T6 S. G2 G$ Oy=poly2sym(p3)
1 _6 y8 G% B5 `" B. O, C* L- q, ^3 d ^: b
运行程序后,输出结果如下:
: p4 I, e& \8 m0 N# G
% ~7 `4 [2 K# U0 a( m( g) Fp1 =9 p5 @& ]$ @7 O3 M9 C) x
4 2 0 55 Y4 |, m) V# g3 U. d- L1 F" p( h9 m% ~
p2 =5 u- c1 b$ [3 U9 |2 n# w
5 8 1
$ j) F H3 `$ g }, C. E' ly =; i: q5 _3 L5 H/ {7 z
20*x^5+42*x^4+20*x^3+27*x^2+40*x+5# v+ k& o( V) g( q
+ O$ T! {8 q: O在MATLAB中,使用函数deconv()对多项式进行除法运算。其调用格式为[q, r] = deconv(a, b),实现解卷积运算。其中a和b为多项式的系数向量,在代数上相当于多项式a除以b,得到的商为q和余多项式r,它们之间的关系为a = conv(b, q) + r。8 T. ?2 @3 I2 i! ~; W' S9 n
【例5-7】 求多项式 除以多项式 的商和余数,代码如下:
1 z! p$ e, U2 }0 v' B/ u
' B3 q/ z( _4 t6 m5 A, B5 R>> p1=[4 3 8 1 4];
6 J" ]" r u0 j( s! Lp2=[2 3 1];6 \. l2 a# d* W/ i
[q,r]=deconv(p1,p2); %多项式p1除以p2
3 `5 P8 E' r7 r+ ty1=poly2sym(q) %商. g/ R# O2 ~( L# R% A1 N, o" {% b3 W+ _
y2=poly2sym(r) %余数
' {: K/ e: l& o0 v+ Z! T7 V( |3 I t5 W; \3 h% _6 m o, N: i0 k
运行程序后,输出结果如下:6 L1 D9 x! ?/ A9 X
: |( Y2 o/ [5 t! G5 _! S j
y1 =
4 y& ]( X% T7 H0 N( Q2*x^2-3/2*x+21/4) q; l# h8 m; \/ U D2 W" t6 ]
y2 =
8 b3 Q& m# x2 O6 s5 n. I-53/4*x-5/4! b- y3 `, g: [$ k7 }) |7 W
$ ~- M' i! W, W* ? z# C g
5.1.4 多项式的导数和积分
( H6 {! q" x1 X; o" \在MATLAB中,通过函数polyder()和polyint()分别对多项式进行求导和积分。求导和积分互为逆运算,如果先对多项式进行积分,然后再求导,结果仍然为原来的多项式。下面对多项式的求导和积分分别进行讲解。
% j* r7 K6 ]1 b- r1.多项式的导数9 D% i. k" A& q- M0 H# j, F6 I
在MATLAB中,采用函数polyder()进行多项式的求导,调用方式如下。6 j. M, ^) V/ T# z6 S
y=polyder(p):对以向量p为系数的多项式求导。5 Y) ?- N( ^8 ]4 s" `$ [
y=polyder(a, b):对以a和b为系数的多项式乘积进行求导。
# h$ V# Y$ {5 _ [q,d]=polyder(b, a):返回以b为系数的多项式除以以a为系数的多项式的商的导数,并以q/d格式表示。
) @+ n" _0 K* @$ [9 D2 S【例5-8】 对多项式求导,其MATLAB程序如下:
: N+ ~; o; }6 N" s% l% B7 h& b8 _5 \* D( R! G
>> p1=[4 3 2];
5 v+ E4 w/ B& Z& G8 xp2=[2 2 1];& h0 |" Z4 A) p! A$ r
y1=polyder(p1); %对多项式p1求导/ ^* w6 }5 G0 j" L9 w
y1=poly2sym(y1)
( M- B5 ^+ C: Ky2=polyder(p1,p2); %对多项式p1和p2的乘积求导0 ]" G1 s) m) m1 H
y2=poly2sym(y2)1 {) L2 O7 t7 |9 n# M
[q,d]=polyder(p1,p2); %对多项式p1除以p2的商求导
- y' G4 ^) |, z; Y0 n5 dq=poly2sym(q)
! G) ~) e# r7 \d=poly2sym(d)& ?" h. v1 o4 U$ \: ~, W7 L
9 R. [2 N; |+ @3 H
运行程序后,输出结果如下:6 i1 w. P: c- C+ t1 J: g h) V& J
" T- J5 N% J+ c; P$ e
y1 =2 ~ }" V" l j5 Q9 d& Q9 l
8*x + 3
4 Q, Z% T' {. }3 t( F2 v% Uy2 =
7 y) S% @" z) I: ]" Y6 g32*x^3 + 42*x^2 + 28*x + 7& K/ r2 | l: E
q =
1 k( E$ _9 T/ B# D2*x^2 - 1
) {0 R+ u! n3 Sd =- _* \) `, A4 v% P: k
4*x^4 + 8*x^3 + 8*x^2 + 4*x + 14 C% N% B0 l/ f0 r/ Q
k5 ]& H% c6 o8 X0 P
在MATLAB中,通过函数polyder()对多项式进行求导,通过对输入参数和输出参数个数的不同,对相对应的多项式进行求导计算。对于函数[q,d]=polyder(b, a),相当于对多项式 求导,结果为 。7 P* ^$ g2 ^% }0 H) h8 T. l: H% ~
2.多项式的积分
& K; G ^4 W# u; o7 _在MATLAB中,使用函数polyint()对多项式进行积分运算,其调用方式如下。$ r9 w/ }) M+ F6 i
polyint(p, k):返回以向量p为系数的多项式的积分,积分的常数项为k。- A, _ y1 E- R1 P& U
polyint(p):返回以向量p为系数的多项式的积分,积分的常数项为默认值0。
8 m f% M! Y$ p" _: |【例5-9】 对多项式 进行积分运算,其常数项分别为3和0,其实现的MATLAB程序代码如下:
- G1 b: A% A$ e2 t; r _& R. f
& E- {8 n, d: ]# h/ y+ R5 Pp1=[3 2 2];
# [2 J. R! ^* j, L( _/ L. b2 |y1=polyint(p1,3); %对多项式p1进行积分,常数项为34 i8 V; T) J/ |. I; x( i. X( u
y1=poly2sym(y1)
" [0 K8 ]! }; I" L6 o8 r6 Ey2=polyint(p1); %对多项式p1进行积分,常数项为00 P0 v7 f5 p" J$ x
y2=poly2sym(y2)1 I& {* N2 w% }, C/ O. I& T2 H F
7 e5 C s5 k7 W, c! {
运行程序后,输出结果如下:
. g |. J" v+ h% [+ e& x* v2 l, ^8 f3 |$ ~# P T
y1 =
6 [2 o. ]$ B7 n) F1 V: \: R/ Bx^3 + x^2 + 2*x + 3
/ ~& x$ \: U: r% [ p# e5 My2 =
' Y r2 r% \' K: i. r- V( zx^3 + x^2 + 2*x8 Y2 P- }7 M* k! b: X% S
2 h9 |6 |& j: |! F通过polyint()函数对多项式进行积分运算,积分的常数项通过参数k进行设置。如果不对参数k进行设置,则k取默认值0。
2 J+ |3 e. p( d& a% f5.1.5 多项式展开' {& b* h S3 _- p7 m5 x8 d
在MATLAB中,有理多项式用它们的分子多项式和分母多项式进行表示,函数residue()可以将多项式之比用部分分式展开,也可以将一个部分分式用多项式之比进行表示。函数residue()的调用方式如下。# ?# o# x2 U* W
[r, p, k]=residue(b, a):求多项式之比b/a的部分分式展开,函数的返回值r是余数,p是部分分式的极点,k是常数项。如果多项式a没有重根,部分分式展开的形式如下:2 }: m# Z5 U( S; Z+ J( l
7 Y W7 N! a" P; r其中向量r、p的长度和向量a、b的长度有如下关系:! ~0 o4 }1 @9 c+ t
4 B* u6 k! U7 {( O& \8 t) q
当向量b的长度小于a时,向量k中没有元素,否则应满足:! {8 i# `- R# e {7 |0 d8 [6 X
t6 c3 y$ X/ `) Z% a& a, Q9 Z; Q
[b, a]=residue(r, p, k):通过部分分式得到多项式,该多项式的形式为b/a。' l; l3 M/ y9 x5 i$ a# m' x* O
【例5-10】 将多项式 和 展开成几个简单多项式的和。其实现的MATLAB代码如下:
% @ q j) x& x5 i/ r& T$ L. ^
% v& ?6 R6 V4 T0 H% T! W }>> clear all;! J0 r- F# [2 I( P9 U
clear all;2 M4 c% G/ `% ~1 ?! Z6 H
b=[1 -1 -7 -1]; %分子多项式) ]( [; @. Z- Y6 ]0 J" d
a=poly([1;5;6]); %分母多项式$ i7 f1 o3 m- n0 C9 _* m! v
[r,p,k]=residue(b,a) %进行多项式b/a展开6 h$ C1 h* ?6 v9 A: P5 r1 _
[b1,a1]=residue(r,p,k); %通过余数、极点和常数项来求多项式b1/a1
) K% ]# R' D( ?; f& p- G/ B# `0 Lb1=poly2sym(b1), E b5 d; w; h7 I
a1=poly2sym(a1)
5 Q, G1 x+ Y% A# db=[1 -1 -7 -1]; %多项式a有三重根% O: \- z1 k3 G" ]2 Y2 O9 Y
a=poly([1;1;1]); %分母多项式& A1 O; u% o/ E' ~8 W
[r,p,k]=residue(b,a) %展开多项式b/a
& w( a- w' ], [5 c! {% Z8 }; [$ G0 C' x6 t( c
运行程序后,输出结果如下:/ i+ F; d+ q# d, e, Z( L8 _
2 u6 E" J/ z- M5 s1 X# M8 ^ R( o
r =: ]9 l) [+ A) E/ L* ]+ b) c; d; n4 Y
27.4000
9 h" a' o: d- d' R -16.0000- z0 |+ Z _9 l) N3 t* K5 I" L
-0.40006 _* A4 J7 \8 N
p =
) G8 Z$ G" S8 m! h7 z H 6.0000) G8 f' @6 i8 d9 Y2 ?, u
5.0000
5 s$ |. ]4 o9 {1 r 1.0000: T; e: M3 `3 m& t
k =4 U8 x4 ]2 w5 R+ A/ c7 E4 \5 {1 d4 X
1: {7 k4 o2 \& U6 W
b1 =& T) g7 \& k8 r8 Y
x^3 - x^2 - 7*x - 1
& A0 \: q6 _4 q0 g2 [- p; Wa1 =
3 i( s6 X* `# w ]3 ix^3 - 12*x^2 + 41*x - 30" f( M& D. T' H {1 {9 u
r =9 M- z) E" G) E! C$ F$ y
2.0000
7 ? `# i0 u$ _5 b- { -6.0000
8 z( A- { M {9 j1 \ -8.0000
+ f/ C- c" R* P; F+ Z- Wp =
, q6 o4 H! ]6 e7 p9 |: S2 J; l 1.0000: Y* W6 d! c, X' @$ K5 Z0 H; C8 a; C
1.00009 w3 D& U( R$ N
1.0000
f7 H8 U4 o7 M3 xk =
% l) J, e4 C5 s7 l( r3 [1 {7 X) @ 1
, t" K, w/ g- o. G# V3 N; c+ v7 r% T2 N, Y
利用函数[r, p, k]=residue(b, a)将多项式b/a进行展开,结果为余数、极点和常数项。对该多项式进行展开后的结果如下:
0 W d0 I! {- n8 q0 E1 n# u. h 将余数、极点和常数项带入函数[b, a]=residue(r, p, k)中,可以求得对应的多项式,并通过b/a的形式给出。
( w# v" V: v+ }/ B/ d$ G当多项式a有三重根1时,对多项式进行展开后的结果如下:6 v( n/ |. O+ e
0 P7 R7 [ Y/ l& e( V
8 U& [! w9 ^) Q7 o: A4 d1 ^& {. U0 _& r4 c3 Z
& ?. K, p8 g2 p! I9 d+ x- o$ n
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