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本帖最后由 lili456 于 2012-5-28 11:31 编辑
! t) p. s! j$ s% B7 k+ ]
6 _' i! _9 s, k6 i* N9 |5.1.3 多项式乘法和除法3 Z) B- S' [8 x/ p( t2 c: H; [. \ Y
在MATLAB中,使用函数conv()对多项式进行乘法运算。其调用格式为c=conv(a, b),a和b为多项式的系数向量,该函数实现向量a和b的卷积,在代数上相当于多项式a乘以多项式b,其中c为相乘所产生的多项式的系数向量。
/ L: T7 f4 E7 m" e2 M+ ^【例5-6】 求多项式 和 的乘积。采用函数conv()实现,其MATLAB程序如下:( I" i0 Z0 o. X( u5 h
6 A2 `' }% Y* _4 s2 U; qp1=[4 2 0 5]; %缺少的幂次用0补齐# e9 w$ v0 ^1 M# z$ `
p2=[5 8 1];' J' Z& Y# }' s: E
y1=poly2sym(p1): n6 G) f+ J+ x: Y V f
y2=poly2sym(p2)) A# b- N6 z; k6 n2 W
p3=conv(p1,p2); %多项式相乘
9 m x, }! t- m- T' f2 L3 xy=poly2sym(p3)
; _. u q, l, s# |- X3 V8 p7 e
0 c" R9 `" N4 W( d) G) S m% o: i运行程序后,输出结果如下:& e6 M6 Y4 _$ R0 s t- Z
% x+ g* |6 S1 h) V
y1 =7 L: _) w) }/ |0 I' M
4*x^3+2*x^2+5
- Y9 q, i2 Q) ~9 [7 |y2 =& b, U+ m+ {. G$ D
5*x^2+8*x+19 |! \; C5 ?, k+ e
y =+ q6 ]" H" K9 o0 b W' p" {' m7 m
20*x^5+42*x^4+20*x^3+27*x^2+40*x+5/ M8 D( h H0 Y( Q# g O
' w0 \- T6 p6 f! d在MATLAB中,采用poly2sym()函数将向量作为多项式的系数进行输出,和其相对应的函数是sym2poly(),该函数将输入多项式的系数提取出来,作为向量进行输出。对于例5-6程序也可以用poly2sym()函数实现(和例5-6的计算结果相同),其MATLAB程序如下:( H' `9 f+ E5 |4 e1 h% H
J f2 F0 x0 b' o, M$ t8 t n! o>> syms x
1 u! d! X7 u) _6 B" F% \' up1=sym2poly(4*x^3+2*x^2+5)
- ?# E! m2 Q: a3 Pp2=sym2poly(5*x^2+8*x+1)
1 A. m1 a: c' T# ]+ C/ ~p3=conv(p1,p2); %多项式相乘/ [7 X1 u4 N6 c' ~; q% J
y=poly2sym(p3)1 D7 ]: l2 e) ?/ l5 f" T: A0 Y# _
5 C- m7 r7 G3 R& m) Y( G
运行程序后,输出结果如下:5 W6 q" ~6 z2 ?2 C
; A, a* g- Y5 s1 b7 x0 R
p1 =
1 I2 T8 _7 L- ~ 4 2 0 55 m+ l' m/ r2 B6 ?8 Z" ]
p2 =. c" C* G- F5 w/ F n8 r* S0 L: H) ^
5 8 1; s" {9 S+ x* a+ z0 \2 ^- X3 y
y =2 I+ Z. z" u* D) w3 q4 Y7 h
20*x^5+42*x^4+20*x^3+27*x^2+40*x+5
, a1 j! l! e; |- |
: e0 {5 n2 c, E, Z0 R; z" n. _9 @在MATLAB中,使用函数deconv()对多项式进行除法运算。其调用格式为[q, r] = deconv(a, b),实现解卷积运算。其中a和b为多项式的系数向量,在代数上相当于多项式a除以b,得到的商为q和余多项式r,它们之间的关系为a = conv(b, q) + r。3 }2 L; t! O1 c2 @1 w+ m* G( m
【例5-7】 求多项式 除以多项式 的商和余数,代码如下:
# v: z8 |3 |9 Q; N4 H% I9 _# `& K! W7 e% |+ T" L
>> p1=[4 3 8 1 4];
( z: F! X# L% f: gp2=[2 3 1];
% U# t: I5 c$ P# T& }" L[q,r]=deconv(p1,p2); %多项式p1除以p2
5 B1 E5 [8 [! i0 w' My1=poly2sym(q) %商
5 ^% Z3 g( \! dy2=poly2sym(r) %余数
% H& K- W+ [8 T$ E3 Y& h) s: j3 a) I: _) C
运行程序后,输出结果如下:
1 m3 a: r1 ?: C$ A8 P' a: @% ~) ^% {) w& U" D
y1 =
n+ C2 U# Z3 D, t5 z2*x^2-3/2*x+21/4
( |; x2 d: u* d& `+ X. xy2 =
D# c0 q8 L! u% m* `* W-53/4*x-5/42 [( V2 ?9 d. `8 G
* Y; f- L6 C/ \' v$ \
5.1.4 多项式的导数和积分% ~/ C. [7 B% N) ^
在MATLAB中,通过函数polyder()和polyint()分别对多项式进行求导和积分。求导和积分互为逆运算,如果先对多项式进行积分,然后再求导,结果仍然为原来的多项式。下面对多项式的求导和积分分别进行讲解。
% }7 j) w3 q& N& f/ U! b1.多项式的导数
1 f% j- @3 m5 F! C) ]6 e6 ^在MATLAB中,采用函数polyder()进行多项式的求导,调用方式如下。
3 |, J5 S8 k0 s y=polyder(p):对以向量p为系数的多项式求导。
A. ]0 V8 L( v; j+ O% v& Y y=polyder(a, b):对以a和b为系数的多项式乘积进行求导。
: X* A3 @- ]% ], z1 d v9 x [q,d]=polyder(b, a):返回以b为系数的多项式除以以a为系数的多项式的商的导数,并以q/d格式表示。
) M# | m) `9 X- [0 f8 q3 c( H【例5-8】 对多项式求导,其MATLAB程序如下:1 b2 i I: d( ~: w9 i. N4 p9 R2 X
0 ^) b1 j j: y! [; e1 y, k
>> p1=[4 3 2];8 {& F: t0 s' k6 V3 b5 O- Z
p2=[2 2 1];
; u: u. {1 H2 ?/ jy1=polyder(p1); %对多项式p1求导
! y3 W# [/ v, \# R3 w0 H; Wy1=poly2sym(y1)
4 B: i4 W. o( ly2=polyder(p1,p2); %对多项式p1和p2的乘积求导
3 ?. b+ k: U) j# d8 |, c" r8 Ay2=poly2sym(y2)
1 E% L0 Y& ~) E& P: ` s) Y[q,d]=polyder(p1,p2); %对多项式p1除以p2的商求导+ j$ C9 G. O8 ]2 ~# I
q=poly2sym(q) W. ]$ |2 d( R
d=poly2sym(d)
4 {; }$ ? u L
& _5 {* R2 B; i2 R0 y$ w5 `+ j运行程序后,输出结果如下:; ?4 Q: ]: R5 \ }& U5 I
1 s4 a/ s7 |5 Z9 w: T) f6 T
y1 =0 a7 E: o9 G* z1 I0 k( g7 _
8*x + 3+ f! x! |6 H, e* d. U; T
y2 =- c0 W) A- b5 H7 Z' E+ V
32*x^3 + 42*x^2 + 28*x + 7
) e4 B6 p5 \5 ^! C% W+ Hq =
' `* |" I7 i1 ` e1 L/ O2*x^2 - 1
0 b$ v/ ?' {, k% J4 Ad =; D. W& d% n( U9 _/ q4 O
4*x^4 + 8*x^3 + 8*x^2 + 4*x + 1
9 ~- j, m" U5 ~ a* k$ P3 O% j
在MATLAB中,通过函数polyder()对多项式进行求导,通过对输入参数和输出参数个数的不同,对相对应的多项式进行求导计算。对于函数[q,d]=polyder(b, a),相当于对多项式 求导,结果为 。- q; y2 S7 y& }& l6 F F: }' S( w
2.多项式的积分. L& j5 {# e. I
在MATLAB中,使用函数polyint()对多项式进行积分运算,其调用方式如下。
, N/ b; }7 J3 @$ \) R; a# k: ? X( U polyint(p, k):返回以向量p为系数的多项式的积分,积分的常数项为k。" {8 g9 k1 U: r5 Z5 b
polyint(p):返回以向量p为系数的多项式的积分,积分的常数项为默认值0。3 ?6 R) G. X$ P* y0 D4 k+ r
【例5-9】 对多项式 进行积分运算,其常数项分别为3和0,其实现的MATLAB程序代码如下:: g3 P \# p( }+ r* d1 Y
: Y2 H+ N8 n( x, I, G+ D* j
p1=[3 2 2];9 [/ \5 `1 K% o' M0 w/ w; L
y1=polyint(p1,3); %对多项式p1进行积分,常数项为3
' l, l4 C+ D" o1 F0 {5 L. \y1=poly2sym(y1). d0 w! _& U& r% V+ k
y2=polyint(p1); %对多项式p1进行积分,常数项为0
# z; @; W# ]0 O# g6 B7 ]: ry2=poly2sym(y2)
1 \1 N0 {* I4 z' x
/ c h0 m) D# ]2 s运行程序后,输出结果如下:
0 K0 \. }9 ]& c8 `% }+ u
9 C. ~! Z" p/ P: {. p: G: ry1 =/ I; `; }/ j" @% W6 {+ U
x^3 + x^2 + 2*x + 3- K/ V% S+ `; \: O' F- M
y2 =+ I" X3 o4 G; i2 X+ A9 z" R; k
x^3 + x^2 + 2*x) N6 t B/ P) }
% J$ y* U" x. n通过polyint()函数对多项式进行积分运算,积分的常数项通过参数k进行设置。如果不对参数k进行设置,则k取默认值0。/ v8 T' U: Q1 c! H5 e; f; b
5.1.5 多项式展开
, R& g. [. w% ] R7 h在MATLAB中,有理多项式用它们的分子多项式和分母多项式进行表示,函数residue()可以将多项式之比用部分分式展开,也可以将一个部分分式用多项式之比进行表示。函数residue()的调用方式如下。
6 {- u! Q* K8 V. u3 W/ ` [r, p, k]=residue(b, a):求多项式之比b/a的部分分式展开,函数的返回值r是余数,p是部分分式的极点,k是常数项。如果多项式a没有重根,部分分式展开的形式如下:
6 Q% \7 C0 j# U* S" M
0 E6 \0 h" N/ D1 V }6 @" o其中向量r、p的长度和向量a、b的长度有如下关系:: n" h1 e4 P; t1 O4 U, }( u6 u, J0 t z
% c: n: Q+ t: l
当向量b的长度小于a时,向量k中没有元素,否则应满足:
! ~, P2 S* T$ {: C4 n
; u5 g9 O# E. d5 l$ b' J- q9 m [b, a]=residue(r, p, k):通过部分分式得到多项式,该多项式的形式为b/a。/ p; @7 K- t! q' n& {
【例5-10】 将多项式 和 展开成几个简单多项式的和。其实现的MATLAB代码如下:+ P# t$ A& s* d# i3 |1 y
+ D( M' B- j$ Z( O9 v( \+ E; k4 \>> clear all;9 c" H% Q. [% T* S/ }
clear all;
% K) i/ C8 H; n+ Q1 s/ E& `b=[1 -1 -7 -1]; %分子多项式
" ~) t! Q, [4 O) ra=poly([1;5;6]); %分母多项式1 `- M2 p7 O+ B" k
[r,p,k]=residue(b,a) %进行多项式b/a展开& n" Y/ |9 b; D) w: f" a& Q
[b1,a1]=residue(r,p,k); %通过余数、极点和常数项来求多项式b1/a12 S; \5 p: s$ Q7 l$ K8 }8 J
b1=poly2sym(b1)
; Y$ t! f _% K2 Ya1=poly2sym(a1)
) @7 ?/ m# q1 _7 K2 H! F# v* @! U" kb=[1 -1 -7 -1]; %多项式a有三重根' m4 I2 C9 k2 ^6 J p4 g8 r
a=poly([1;1;1]); %分母多项式% [; w: N: T7 n% S( R3 V" O8 f
[r,p,k]=residue(b,a) %展开多项式b/a
& o9 \. M3 M5 I5 `# F7 }0 w* T1 U# K0 D. O+ t
运行程序后,输出结果如下:. l( r4 @/ d9 g. O+ Z6 B# e) b
$ v8 R$ D& Q" W$ J4 [$ wr =
- c5 N/ u, k4 `" V$ R 27.4000+ U4 ]' F' [/ I+ I% x+ ?8 q2 k
-16.0000
i, e2 F5 b' y& u& Y! H# I. M6 @ -0.4000+ _# n i5 d! C& F! d" ]) w
p =
+ K2 @) I* h* Q: ^9 H" S7 B8 \ 6.0000
5 R* i" w: f( g3 W V 5.0000+ P# @+ R, ?. H( C n3 g
1.0000 ^. o8 V9 K1 V- c' x
k =
) y7 I0 e, n: }8 {) S 1
% Y, d& V) v: t5 }6 y- w5 Y) lb1 =
1 ~' n9 P; J3 ~- dx^3 - x^2 - 7*x - 1) p5 B9 }6 |% N" N& i
a1 = q, p# J; I+ I" P- n+ v2 e% l
x^3 - 12*x^2 + 41*x - 30
( k* F1 O2 _5 }( ?- Q% ~/ o7 Y$ @r =
- h/ U, l7 q4 Y6 ]% Z5 U 2.00004 I* [. ^% o# Q6 z' b9 z$ z2 ?
-6.0000
u L) ~% x+ k4 h% D3 C -8.00003 y: v- N6 u9 O- {- E @2 @
p =
" C/ |1 V$ x: E8 K6 }* L 1.0000
( \3 C, A5 t2 ?0 ? 1.0000
4 l" s, C- |: Z2 j6 W/ F 1.00007 e: N3 M; Y4 q- H
k =* Z ?7 G! K8 z b/ r" }# ~
1! `" y% d2 \; i3 O6 ~9 v a' Y
, a9 `; S: v; |' F: y% H
利用函数[r, p, k]=residue(b, a)将多项式b/a进行展开,结果为余数、极点和常数项。对该多项式进行展开后的结果如下:
' v! Q R$ ~. C 将余数、极点和常数项带入函数[b, a]=residue(r, p, k)中,可以求得对应的多项式,并通过b/a的形式给出。
" o% K3 e: X3 ]' O" K$ f: s, D8 f当多项式a有三重根1时,对多项式进行展开后的结果如下:* f, {; H1 }+ O& e" j4 {3 e
' k$ g9 H A) R! b, x$ d
; y8 z" Q- d: M" d, u! v/ I
4 H; ^$ f6 _" K ' F! l0 `- ?3 J3 W f
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