百鸡问题

marchboy

百鸡问题
. l0 N( F/ v2 @: `8 O/ Z
　　今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。”
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/ K/ O$ ^# Y0 E2 ^6 q原书说明
$ Z8 _2 w" N- r$ r1 H, \7 N1 Z+ H
' V9 V) ?: ~2 G  k+ R　　原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
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( I$ D9 V0 ^9 v1 P9 A: O5 {& U解法

　　中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5 文钱，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。现在用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？
7 W1 j+ L8 |" ]" m- x) \2 K3 u: u　　这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下：
　　设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
　　①……x+y+z =100
& T4 P4 S" b+ e! H　　②……5x+3y+(1/3)z =100
  `3 V2 S! U5 }　　有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
　　令②×3－①得：7x+4y=100；
1 y6 \: {. E/ [! Z) t　　所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4
! L2 @& Q) V8 l5 {8 E7 V　　令x/4=t, （t为整数）所以x=4t
　　把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
9 k: u2 |: ]' O8 e! g: b- x7 @2 ^　　易得z=75+3t
" E$ g  V; I: z) f% r; o! `　　所以：x=4t
　　y=25-7t
9 A6 _; M  j" W6 k. z5 l% o　　z=75+3t
  n  a8 s% w- D  V+ q, q　　因为x,y,z大于等于0
　　所以4t大于等于0
　　25-7t大于等于0
# Q% y8 U5 Y* C/ D3 O- X　　75+3t大于等于0
, s/ J! y. Z0 [' G- b; c　　解得t大于等于0小于等于25/7 又因为t为整数
: X' I3 I1 S, P　　所以t=0,1,2,3（这里不要忘记t有等于0得可能）
　　当t=0时
　　x=0,y=25,z=75
8 r+ M1 r- Z) P! ~. t　　当t=1时
　　x =4；y =18；z =78
# M5 n2 A  S+ A, k" `/ T# \; j　　当t=2时
　　x =8；y =11；z =81
, p+ M% d8 L: U. ^# _: O  C- |& v; {; _　　当t=3时
　　x =12；y =4；z =84
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3 w- E: a: G& z$ [) K5 v6 \2 KC语言解法

　　
#include <stdio.h>
void main()
{
# ?: j: j! Z1 E5 Gint cocks=0,hens,chicks;
while(cocks<=20)
6 ^6 a: R/ e" c{
1 R' M9 q4 c$ K+ F' Y! J  T% yhens=0;
; G. d) c+ `) g: [7 K4 F+ [9 f5 _while(hens<=33)
1 Q. t  I' B. j+ _; N{
8 R7 t8 C0 Q' pchicks=100-cocks-hens;
( V/ u4 R0 u# {  cif(5.0*cocks+3.0*hens+chicks/3.0==100.0)
: @) x, f: t' ^8 P) ]' ~printf("公鸡%d只，母鸡%d只，小鸡%d只\n\n",cocks,hens,chicks);
3 B! k8 N  d3 I1 N! Z1 A' g/ f( C, P# {7 Ihens++;
  w/ i9 d! k8 W9 m}
cocks++;
/ G2 ~9 O) C7 C3 J8 T}
/ y' O' v( m* H) _}
输出结果为：
　　公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
　　公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只
3 X' M6 \+ z: ]7 u& T　　公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只
% X# C8 Q9 l5 b( O9 l  c* u5 w　　公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
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java语言解法

; {7 @$ K4 E  d8 l) A5 {　　public class BaiJiwenti
　　{
　　public static void main (String [] args)
　　{
* F3 N" {" S: a! G# _) I4 V  o5 `　　for (int x = 0; x <= 19; x++)
) ]! [+ b% _1 a) u! U5 }$ G4 [　　{
　　for (int y = 0; y <= 33; y++)
　　{
& c$ [* x1 X" Y' h4 Z　　int z = 100 - x - y;
  ?' `3 C. D; a+ O　　if((x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100 ) && z % 3 == 0)
　　{
; c: ~2 X# R: \　　System.out.println("可买鸡翁只数:" + x);
7 p) P1 o6 q+ x5 w5 Y+ A9 Y　　System.out.println("可买鸡母只数:" + y);
　　System.out.println("可买鸡雏只数:" + z);
! d  Z- T  ]( Q. h) K4 z9 G) G　　}
　　}
2 a1 N+ b& U/ e; r: _' A1 T　　}
　　}
　　}

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