百鸡问题

marchboy

百鸡问题
9 D# X" J7 V3 i3 T% X3 M
  T6 F* O, c, L1 N3 e% Z　　今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。”
编辑本段
原书说明

　　原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
编辑本段
4 h% P% I' K- N+ i! @+ d& ?4 }解法

3 ]) z4 t: j  ^4 P4 f! v　　中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5 文钱，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。现在用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？
) B/ e  Z- N% M+ w! X8 |- G9 P　　这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下：
6 {  |/ a' h0 ^2 u, A　　设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
　　①……x+y+z =100
& z. r: T2 b4 l) ^! c, l" |　　②……5x+3y+(1/3)z =100
/ n; V+ f. ^. P3 j　　有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
　　令②×3－①得：7x+4y=100；
. |/ L& i, f% _- s' c8 Z　　所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4
　　令x/4=t, （t为整数）所以x=4t
　　把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
8 p$ v# e- H, ?" R0 A6 Q7 m, U) ^　　易得z=75+3t
　　所以：x=4t
$ y! A% W) N2 K( o# P( A& Q　　y=25-7t
　　z=75+3t
/ a  ?0 F' f( B2 i* z, d　　因为x,y,z大于等于0
- S0 W' o/ O, V7 H0 V" g( t9 E　　所以4t大于等于0
　　25-7t大于等于0
　　75+3t大于等于0
　　解得t大于等于0小于等于25/7 又因为t为整数
　　所以t=0,1,2,3（这里不要忘记t有等于0得可能）
( z7 P- o8 W$ |; K( n5 a2 i/ B　　当t=0时
3 U+ ~3 F0 v# I7 h- z5 Y& {1 i1 _　　x=0,y=25,z=75
* T/ A3 k# |% p# F: l8 i　　当t=1时
9 _( h  F7 n& X2 n  Z+ Z　　x =4；y =18；z =78
' U$ w8 V1 B3 y  W　　当t=2时
　　x =8；y =11；z =81
8 o, D) @  |# N2 s9 y/ S, w　　当t=3时
　　x =12；y =4；z =84
0 e: d. c' `( |( P' X  J' p1 Z编辑本段
C语言解法
& n+ d& J. o, n! S
" }) |% a9 l& ?- I) ~) Y　　
4 n0 Y2 y1 ]& D# Q, L#include <stdio.h>
2 Q! @4 E' a- Y/ W, mvoid main()
{
int cocks=0,hens,chicks;
while(cocks<=20)
{
hens=0;
while(hens<=33)
{
chicks=100-cocks-hens;
4 l7 v; D* G, z! S7 L* ]' |! tif(5.0*cocks+3.0*hens+chicks/3.0==100.0)
printf("公鸡%d只，母鸡%d只，小鸡%d只\n\n",cocks,hens,chicks);
hens++;
) o' [5 O% g, m- @/ g2 }  `}
cocks++;
' }# d+ G0 K* D1 ]+ v! j* A}
( H2 }! l6 j/ X' C! d' w+ F}
输出结果为：
( A" m+ K, b' B5 Y( ~7 r$ S% G　　公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
5 N( U& K/ C2 A- X% U3 x- z　　公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只
# C, v* f  p" Y　　公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只
# Q9 S0 L( G3 v/ `4 c* c% i　　公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
) C+ m2 D# p' Y2 A% r2 ]2 o编辑本段
3 @% E1 L, n9 c3 }" ]java语言解法

: T$ ]4 Z1 w: x/ y　　public class BaiJiwenti
4 R. [- F2 A; J9 c　　{
# \2 W, s# @" U) u  Y　　public static void main (String [] args)
9 K; x: s) l3 }) p( X: N3 }　　{
/ \, c& C7 \% K) E7 D. Y% e　　for (int x = 0; x <= 19; x++)
　　{
( Y2 d; n/ `% p　　for (int y = 0; y <= 33; y++)
　　{
% c1 h+ ~5 c, J- w+ F　　int z = 100 - x - y;
　　if((x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100 ) && z % 3 == 0)
  U% K0 n& r" q! q" k　　{
" n: ?/ s0 ?+ E: c$ ~& ]0 I5 @　　System.out.println("可买鸡翁只数:" + x);
　　System.out.println("可买鸡母只数:" + y);
0 [1 L2 @6 q. s* _4 N% z: ~　　System.out.println("可买鸡雏只数:" + z);
　　}
　　}
; ]* q0 v6 j) r5 n+ r0 z+ g　　}
% i6 y( D. D" K8 O' }　　}
　　}

wssl103050