百鸡问题

marchboy

百鸡问题
3 g! w& N4 l2 Z  @) [
' j/ v! {, A! W. w& u1 r/ x　　今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。”
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原书说明

7 u0 k/ \3 S/ @" H, O3 `0 X　　原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
& b) E0 L6 b% m# v/ |" D" D4 H编辑本段
, w9 G2 R2 C% V4 V. K5 N; r  O解法

　　中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5 文钱，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。现在用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？
1 b( ?8 q8 q' C- w0 u, i) j& N　　这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下：
+ T, U7 O+ m) Z- c  o6 r　　设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
1 s; x6 e3 p  A% i　　①……x+y+z =100
# D% q/ i" o$ [　　②……5x+3y+(1/3)z =100
　　有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
　　令②×3－①得：7x+4y=100；
　　所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4
　　令x/4=t, （t为整数）所以x=4t
　　把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
　　易得z=75+3t
0 z+ w. G( m, H9 X) [9 S. @　　所以：x=4t
! _1 _$ I1 Z' s( L　　y=25-7t
# W3 y! g5 p! m5 e; ]2 E　　z=75+3t
" J. D0 b4 c+ j' Q* m' ?, H5 I　　因为x,y,z大于等于0
　　所以4t大于等于0
　　25-7t大于等于0
　　75+3t大于等于0
　　解得t大于等于0小于等于25/7 又因为t为整数
0 o, C5 @  C3 F5 n  C* F$ n4 _　　所以t=0,1,2,3（这里不要忘记t有等于0得可能）
3 _& G8 Y) X4 T　　当t=0时
0 H' c9 b0 {7 y: G: o　　x=0,y=25,z=75
　　当t=1时
　　x =4；y =18；z =78
　　当t=2时
2 u/ e1 X3 D) o" l. v　　x =8；y =11；z =81
　　当t=3时
' f3 N* O; T3 c+ _& s9 X" N　　x =12；y =4；z =84
- m* U" c4 X5 G5 Q编辑本段
- d) L6 T6 K0 ]: WC语言解法
1 U$ G- Z' u9 l
0 C+ E4 z7 O1 F, z  k& r5 F　　
#include <stdio.h>
/ u7 r) F4 `2 @. Cvoid main()
. N8 d" b/ f/ j0 v4 \. [# ~3 L{
int cocks=0,hens,chicks;
% a) }9 Z; R3 Y8 X+ H; D! b9 e+ `while(cocks<=20)
{
8 T$ f; c( o. l8 bhens=0;
while(hens<=33)
4 x8 h' c" B: h. o8 m5 N/ J4 x! R/ I{
chicks=100-cocks-hens;
if(5.0*cocks+3.0*hens+chicks/3.0==100.0)
* {5 x" J! P5 c1 r4 Q7 _printf("公鸡%d只，母鸡%d只，小鸡%d只\n\n",cocks,hens,chicks);
1 f9 l7 H" W" q9 _! O2 Bhens++;
}
, [2 u- H$ _( _7 Vcocks++;
( _+ }$ y" k3 N4 w: o: n/ U2 C( A8 |}
& T. `: i3 }* m}
输出结果为：
8 |9 j  G5 \( y　　公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
7 d. w$ z; H% I  f8 q$ q　　公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只
  U( U, b8 ?# u! R% @  P" n　　公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只
" A% [: e% E2 g# k/ N  B5 L. C/ R　　公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
2 q5 U! L+ r1 E编辑本段
java语言解法

5 U  X/ f$ l* B5 \( G8 l$ M　　public class BaiJiwenti
/ u0 f. \7 @! ~5 z; L0 K　　{
( \; u/ S( Z- F6 z  t9 c# L　　public static void main (String [] args)
　　{
　　for (int x = 0; x <= 19; x++)
$ Z" ~$ _5 `9 u5 ]7 y+ }　　{
' F( G$ ]4 k1 T% p1 C9 N　　for (int y = 0; y <= 33; y++)
: J! a& B9 J( J9 [7 J　　{
3 O; x. d" Z5 S1 W2 x' V1 v　　int z = 100 - x - y;
# P, u, S0 p9 q7 y% y1 h6 X　　if((x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100 ) && z % 3 == 0)
　　{
1 |  \$ h/ N8 j% j+ @5 I% R　　System.out.println("可买鸡翁只数:" + x);
/ T+ x; l& O) ^" s) _　　System.out.println("可买鸡母只数:" + y);
　　System.out.println("可买鸡雏只数:" + z);
　　}
　　}
　　}
* k+ {* N' w; m1 Y　　}
　　}
; _, }; V, Q$ ]& X- {+ X* s3 l

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