百鸡问题

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百鸡问题

( B( Y; f% M" M$ {- Z; B　　今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。”
( e8 w' ^  v, A. C4 E9 J! J" h编辑本段
原书说明
6 d- p, V3 r; s; A/ O/ Z2 h. l
　　原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
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解法
  T4 ]& Q  G" A5 x. L1 y
　　中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5 文钱，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。现在用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？
) Z- |* e# v1 {8 Y　　这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下：
8 b7 @# ^. I$ N　　设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
　　①……x+y+z =100
　　②……5x+3y+(1/3)z =100
　　有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
4 l! F3 R) ?/ y/ b& k5 F& z& j) c% M　　令②×3－①得：7x+4y=100；
8 U" Q- \5 V9 ^2 @- _  p$ t　　所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4
　　令x/4=t, （t为整数）所以x=4t
　　把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
　　易得z=75+3t
" j# q# x! [/ i, t( {- C( J% x' J　　所以：x=4t
　　y=25-7t
+ G5 S  ]5 _* V  Y$ a　　z=75+3t
# i2 e0 z, J6 ]4 n# z4 m9 q- i　　因为x,y,z大于等于0
　　所以4t大于等于0
. k2 z8 e, K4 h　　25-7t大于等于0
9 |; V7 T) P9 }3 }& X  Z0 x  X　　75+3t大于等于0
9 z3 e( J+ A& f　　解得t大于等于0小于等于25/7 又因为t为整数
) y+ E2 s; U* e# R  l& E+ G" T　　所以t=0,1,2,3（这里不要忘记t有等于0得可能）
0 a) I5 l9 `; n, N) H　　当t=0时
　　x=0,y=25,z=75
* R9 u' S+ r9 c# ], |) @6 {; }　　当t=1时
( f5 @" |" y1 c& B! B+ M; [　　x =4；y =18；z =78
　　当t=2时
# t. p7 U" K; i' t# u( s　　x =8；y =11；z =81
　　当t=3时
　　x =12；y =4；z =84
& v$ S& O& Y4 N编辑本段
# u2 {5 K1 a" w! L( ]: K) bC语言解法

) f2 N5 Z) s, N; u　　
7 X3 N* E6 Q5 U! @; r#include <stdio.h>
void main()
  |1 B( A" N+ \' Q* ^{
int cocks=0,hens,chicks;
2 q% h2 h) j' a6 q$ W$ S3 Owhile(cocks<=20)
" ^& _7 `8 J) x{
5 \2 O7 ^4 m: r2 z) Q5 ahens=0;
while(hens<=33)
* D" p; y* g6 w. ]{
. Q8 Z0 h- J5 q4 zchicks=100-cocks-hens;
if(5.0*cocks+3.0*hens+chicks/3.0==100.0)
printf("公鸡%d只，母鸡%d只，小鸡%d只\n\n",cocks,hens,chicks);
/ f* t' T, T" N7 m+ qhens++;
% l2 H: j7 Y" r; W& `}
# C: M- L  c% Acocks++;
}
9 F$ z8 F& \4 b' o( a}
4 s% Y1 S5 ?7 }6 W5 [9 e/ ~" y输出结果为：
　　公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
　　公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只
　　公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只
" Q& M0 B( ^8 K" @- B8 `/ ?　　公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
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java语言解法

0 A; p& [7 j9 e7 L. p* @" l　　public class BaiJiwenti
4 k) Y1 K$ w3 F　　{
! u* J; u5 O4 r' c　　public static void main (String [] args)
　　{
　　for (int x = 0; x <= 19; x++)
　　{
6 ^1 s2 H; J; Q; G1 |! H0 r　　for (int y = 0; y <= 33; y++)
　　{
, g9 z# l2 b$ J$ }( P9 _  p　　int z = 100 - x - y;
) Q5 @+ g/ C: s% l+ g  G　　if((x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100 ) && z % 3 == 0)
, M- u( p3 ~( W% q$ F' B2 u( F' y　　{
! k4 ~! U1 i( U( P　　System.out.println("可买鸡翁只数:" + x);
　　System.out.println("可买鸡母只数:" + y);
9 G$ |( o! U9 `0 i　　System.out.println("可买鸡雏只数:" + z);
- {  J# D* A0 _! |　　}
8 A. Q1 L- @. I" p, T0 V- Q　　}
" Q$ r- t, f: u% {1 X. b" X　　}
) N7 i/ }8 H1 B* r; p　　}
　　}
2 x' D  ?5 H2 u

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