百鸡问题

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百鸡问题
- o: c4 c- e# U# S& `' H0 Z7 t
7 Z2 T8 R3 m6 H, g- |　　今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。”
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原书说明
! u& [2 m, R9 T
　　原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
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解法
, D. L0 w) _+ g4 e+ _
　　中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5 文钱，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。现在用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？
　　这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下：
　　设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
　　①……x+y+z =100
2 X' ~, [; J8 K0 {" l, R　　②……5x+3y+(1/3)z =100
! ~* }7 V; i2 H" R  m: T, W3 s　　有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
　　令②×3－①得：7x+4y=100；
　　所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4
　　令x/4=t, （t为整数）所以x=4t
/ _6 K8 {2 @  G& y" B& ]　　把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
　　易得z=75+3t
　　所以：x=4t
　　y=25-7t
; V; c' B3 w' A, F0 A& ^5 Y2 ^1 n　　z=75+3t
　　因为x,y,z大于等于0
/ A  D. Z6 g: p　　所以4t大于等于0
　　25-7t大于等于0
! e: }- l& _2 Y  [/ N; w) B5 h  I　　75+3t大于等于0
　　解得t大于等于0小于等于25/7 又因为t为整数
  W/ L; \, ^$ ~7 w  Y: v, o　　所以t=0,1,2,3（这里不要忘记t有等于0得可能）
! e7 c& ]9 c5 e8 E4 t% D6 S1 a" L3 a　　当t=0时
　　x=0,y=25,z=75
　　当t=1时
$ _( b' P+ A+ O2 T7 x1 r　　x =4；y =18；z =78
　　当t=2时
9 I+ P- R1 T; a: v　　x =8；y =11；z =81
* R. y* W+ M0 X+ v" ^: r+ c8 |　　当t=3时
　　x =12；y =4；z =84
' Q) _) n  ?$ k编辑本段
% }1 b6 O' P  I0 F; D. x9 F! o3 XC语言解法

　　
#include <stdio.h>
void main()
# X" q1 f8 Q! F{
int cocks=0,hens,chicks;
, [- _  o. }- iwhile(cocks<=20)
1 s9 d$ j7 s+ X& j& w{
hens=0;
4 H, U9 A8 A1 X% Vwhile(hens<=33)
% Q- }; y, ~; [- t{
8 z; M7 f, N! p/ h: u$ kchicks=100-cocks-hens;
' b+ W3 m- b3 z1 j$ c+ x% \7 sif(5.0*cocks+3.0*hens+chicks/3.0==100.0)
printf("公鸡%d只，母鸡%d只，小鸡%d只\n\n",cocks,hens,chicks);
hens++;
}
cocks++;
}
8 A, n: O0 H  i! @}
输出结果为：
　　公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
; M; N+ q; c9 G( H  u9 n' d  O" k　　公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只
　　公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只
6 Y0 Y9 ^7 o- U8 Y( z　　公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
. e5 Q  d1 `0 E; Z6 y# v  C编辑本段
" S! a+ p% J2 c% _java语言解法
* H- C) Q! l5 f" K8 o
　　public class BaiJiwenti
　　{
　　public static void main (String [] args)
　　{
　　for (int x = 0; x <= 19; x++)
7 {" Z8 V* X2 _　　{
: L$ p1 |. q' z- D! {8 Z　　for (int y = 0; y <= 33; y++)
　　{
3 ?: E& q5 T1 c/ q+ \6 ?* i; \　　int z = 100 - x - y;
, I! A+ e  K: C　　if((x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100 ) && z % 3 == 0)
) w" M" n* d5 I; e5 n4 s7 P1 t. P　　{
# B- F" c1 l/ l　　System.out.println("可买鸡翁只数:" + x);
　　System.out.println("可买鸡母只数:" + y);
6 r) Z- ?5 Y9 C　　System.out.println("可买鸡雏只数:" + z);
　　}
　　}
  Y) U) P, l) i! Q　　}
5 q& ~" j0 j, x/ I　　}
* W" A% n, Y( a8 B3 p　　}

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