百鸡问题

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百鸡问题

; b8 ~- |  {- y; C& q　　今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。”
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原书说明

! J- I$ {' N% L" R7 S/ \+ |　　原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
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* B; ?! j9 |! s- j解法

　　中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5 文钱，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。现在用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？
　　这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下：
　　设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
2 d6 s" T$ `5 E3 f6 c　　①……x+y+z =100
　　②……5x+3y+(1/3)z =100
" _$ g, F- K8 P9 |　　有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
　　令②×3－①得：7x+4y=100；
! A& \% u4 I6 _　　所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4
2 F* E' z+ X" Y" L; c　　令x/4=t, （t为整数）所以x=4t
　　把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
　　易得z=75+3t
4 z& |! h4 [- F5 F　　所以：x=4t
" C, R; z) Q; C0 f% v! G, P. ?- }　　y=25-7t
! R( Y5 d: A; o　　z=75+3t
) Y: f( l' x! @+ e6 S: f　　因为x,y,z大于等于0
: R  W- T; x; x6 D# L. ]　　所以4t大于等于0
　　25-7t大于等于0
$ n7 g2 C' @4 E+ i　　75+3t大于等于0
" G% |$ p8 S$ t6 x: l; b　　解得t大于等于0小于等于25/7 又因为t为整数
　　所以t=0,1,2,3（这里不要忘记t有等于0得可能）
　　当t=0时
　　x=0,y=25,z=75
+ V" `6 t& L8 ?　　当t=1时
& {5 \7 T; s2 N1 O　　x =4；y =18；z =78
　　当t=2时
8 e3 I* x: Y6 ~: ^4 O" G　　x =8；y =11；z =81
　　当t=3时
+ o% k: e, o5 t5 P! R2 K+ ]' G　　x =12；y =4；z =84
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6 S) \/ D3 V, F7 E/ N9 sC语言解法
' c7 y) A5 P4 h; E' I
　　
#include <stdio.h>
. I8 g" l+ w# p' @8 t) |7 \6 `void main()
{
int cocks=0,hens,chicks;
while(cocks<=20)
{
# F! Z1 r! G+ V( ahens=0;
while(hens<=33)
) A$ G$ z/ B3 ~7 |# |; A" s{
. ]3 z& x& i4 W2 w' H, Y8 Kchicks=100-cocks-hens;
, R  k- V* Q; r# |+ K* D% rif(5.0*cocks+3.0*hens+chicks/3.0==100.0)
printf("公鸡%d只，母鸡%d只，小鸡%d只\n\n",cocks,hens,chicks);
: J/ ^& r3 K+ ^1 M" i2 m% q% W( }hens++;
}
6 `( d/ K# M- ecocks++;
3 K: e4 K: P5 }5 Q; [}
4 ?8 u7 U4 b1 k9 k. W6 K* [8 w# d}
: m, r; A2 B, \9 P, _输出结果为：
* A; @3 Y4 ^/ K9 Z* a! m, ?+ a　　公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
　　公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只
0 \2 r! \( s; w" n* g2 E　　公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只
# s" D2 n: j; F　　公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
, {/ F+ Q1 D4 N: [编辑本段
java语言解法
, k1 {0 d  ~0 @' L3 o3 m: U1 G+ s
: h( F# S! ~# z0 P/ N　　public class BaiJiwenti
5 v8 Y* Y( W4 j7 ^* }( a　　{
0 a0 a6 Q. C* Q8 q( B: c9 C2 {　　public static void main (String [] args)
2 c, Y2 W1 W( Z3 \　　{
0 k( v- ^$ [% M4 ~  i) r　　for (int x = 0; x <= 19; x++)
* C" ?' k9 K! r" [) i( O2 ?　　{
　　for (int y = 0; y <= 33; y++)
　　{
　　int z = 100 - x - y;
　　if((x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100 ) && z % 3 == 0)
　　{
8 c- {& e- h4 E8 a/ a8 }% q) M　　System.out.println("可买鸡翁只数:" + x);
　　System.out.println("可买鸡母只数:" + y);
　　System.out.println("可买鸡雏只数:" + z);
　　}
" I: x# P3 J% A7 c　　}
　　}
  Y' \7 W) _* y2 K4 U5 O( H( M　　}
　　}

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