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百鸡问题% X' v* D7 V6 `& ?' H z
! \* M0 L( o+ s! C, A4 a
今有鸡翁一,值钱伍;鸡母一,值钱三;鸡鶵三,值钱一。凡百钱买鸡百只,问鸡翁、母、鶵各几何?答曰:鸡翁四,值钱二十;鸡母十八,值钱五十四;鸡鶵七十八,值钱二十六。又答:鸡翁八,值钱四十;鸡 母十一,值钱三十三,鸡鶵八十一,值钱二十七。又答:鸡翁十二,值钱六十;鸡母四、值钱十二;鸡鶵八十 四,值钱二十八。”
: A! t C. [) r9 D编辑本段* z- \: H! t+ o8 |: G
原书说明/ J3 K0 Q( |$ I
3 C4 l. {8 s: b+ Z7 q
原书没有给出解法,只说如果少买7只母鸡,就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案,就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法,只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代,研究百鸡术的人渐多,1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇(约1870)推广了百鸡问作《百鸡术衍》,从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式,如百僧吃百馒,百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题,中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题,且与《张邱建算经》的题目几乎全同。1 w3 z5 C# R; G. u- S7 A' b
编辑本段
! p: B& g6 c; ]) c4 c5 n0 G解法
/ n0 E2 m6 B& r/ b( T. t, g: I! S' T
0 W. ]# l+ ^9 H0 ]2 L 中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题:公鸡每只值5 文钱,母鸡每只值3 文钱,而3 只小鸡值1 文钱。现在用100 文钱买100 只鸡,问:这100 只鸡中,公鸡、母鸡和小鸡各有多少只?
! P7 d1 _- p5 u2 k" o 这个问题流传很广,解法很多,但从现代数学观点来看,实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下:, X$ h* L/ I0 h5 v( t3 l+ E# Z
设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只,由题意得:5 D3 y: }" G( f! x
①……x+y+z =1003 U" K5 k% z& p1 J
②……5x+3y+(1/3)z =100# y- j( h, C" a' V2 q! z
有两个方程,三个未知量,称为不定方程组,有多种解。
1 q" f5 f2 }, J7 j/ c3 i1 M& b 令②×3-①得:7x+4y=100;8 v8 i/ l1 O8 s1 }# L
所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4
7 g7 H4 h/ H: a: l2 t5 L6 g/ G 令x/4=t, (t为整数)所以x=4t3 w6 G6 |' W/ D& u1 d
把x=4t代入7x+4y=100得到:y=25-7t& n3 E( o& \2 B8 o3 S
易得z=75+3t6 w1 K- u( u: b3 g9 ?5 K
所以:x=4t
|1 x: f C# L y=25-7t [+ s* z2 t& H( f* S
z=75+3t* G; S( e H4 {) j5 X7 C6 O
因为x,y,z大于等于09 H* m4 y9 o2 _" ?9 ]& [: T
所以4t大于等于00 K5 M, R, J* b8 Y! H. P; h$ M& i
25-7t大于等于0
# c$ Q3 a# w8 r( K! Z- w 75+3t大于等于09 {) t+ ^4 C( x
解得t大于等于0小于等于25/7 又因为t为整数+ o) T( S/ L, p* r( x+ T, R) _
所以t=0,1,2,3(这里不要忘记t有等于0得可能)) C. O3 x: k) k4 r3 b# R' F
当t=0时4 n" z, g- W+ k9 V* B
x=0,y=25,z=75
W$ [( D& B% t5 I w; a0 K: P+ j 当t=1时' C$ f2 A, u/ ^
x =4;y =18;z =78
8 t, [! m5 M; R+ x 当t=2时
8 a( i+ y9 M$ j: w7 b' B0 u x =8;y =11;z =81; c. v) B& v8 `, c
当t=3时
- {* f2 b* C* K: H/ B4 }, E9 S- e x =12;y =4;z =84. {, m- U+ @& [& b# y
编辑本段
- ]( x7 z$ n5 b: ^5 XC语言解法
' a0 g0 R. v+ T9 Q# P5 X+ b d8 b# P$ J$ D z
4 [4 z* ~- d1 F# \4 y: @: j
#include <stdio.h>( n' y1 \8 M. d& t, [% a4 V% V
void main()
& E+ L2 {3 Z& ~: f0 |. e4 C& g3 B9 B{* Z( i, ?2 F* Z- r, `3 ?/ r
int cocks=0,hens,chicks;
# b2 d5 _' e2 owhile(cocks<=20)3 U2 ?4 {+ k; ]) j0 N9 f7 c! V+ i
{
3 u3 U+ ~$ q3 L. s1 chens=0;
/ p5 M' z+ a J* \0 X# i( Wwhile(hens<=33)6 t! N% A$ u9 c0 m) M
{/ y; a* X! c: X" I7 c' t
chicks=100-cocks-hens;4 z4 J/ j# _. [4 e
if(5.0*cocks+3.0*hens+chicks/3.0==100.0)
( }1 `0 ^( s7 f0 G* o _) f' }printf("公鸡%d只,母鸡%d只,小鸡%d只\n\n",cocks,hens,chicks);
' C) A: l9 h( t& e: E# S- {0 ^hens++;5 A8 y* e4 I* _
}
& @, O5 [: W) R$ B! Q! m- s! ccocks++;$ _, h: @2 v9 F2 z1 N8 n
}; |$ |: k% G$ p7 e1 h2 F
}
: }2 {, S( V, b( w. [& ~输出结果为:
( ?$ B+ }" ?7 C+ d1 \- u7 A 公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
$ o! k% E, X$ H* g 公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只- A. c; H- X! U, Q' |9 b" y v
公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只
) D$ T9 E& N4 u" s4 X 公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
* T$ G4 N, A' @8 _8 B# y编辑本段2 H9 W, j% _9 X' c/ e
java语言解法
2 B) p# d/ x# o: I5 J/ E! u
d- B" J0 p$ _9 b public class BaiJiwenti
' D8 K, ^. U& Z# I9 p! T {
; U: H- `( j9 h* w, I public static void main (String [] args)
+ f* X2 g, l& ` {
/ }4 J1 t t& Q* _$ o for (int x = 0; x <= 19; x++)
3 P, c6 w- x. @! N {
: y, B* ?! @& p0 w7 q D; r0 L for (int y = 0; y <= 33; y++)
# U. o+ \# f( R- a: s6 Y {5 P+ ^: w+ q2 e+ ]) w! V
int z = 100 - x - y;
/ u3 O, K" z2 A if((x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100 ) && z % 3 == 0)7 ?9 n7 {9 t# {! R% K7 R
{
2 J0 {. l, q6 p9 J* L1 L System.out.println("可买鸡翁只数:" + x);& W' t/ U$ ]/ }( @; O
System.out.println("可买鸡母只数:" + y);
, [- D e5 C' p& Y$ H System.out.println("可买鸡雏只数:" + z);2 r' d7 t- \- l1 n8 ^3 ?) _
}0 X& L6 z: m6 b# g2 C' j/ A
}: Y$ [9 ^9 n- @6 u* Y7 I: c
}
1 q8 z2 V" s4 P, ^ {8 W% n* f0 q2 C }
! q3 I p" y) ~ P$ i1 T }
, y$ j% {- ], y, m |
zan
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