百鸡问题

marchboy

百鸡问题
& t; z% |9 k0 L3 W
　　今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。”
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原书说明
7 x# |. D3 \) ?+ Y" a
　　原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
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: U5 Z9 T/ k+ P6 D解法
6 D# h8 e- G( R* O6 z
　　中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5 文钱，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。现在用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？
( f; c% x9 W' n) @5 W　　这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下：
7 @! J& n2 {# f/ y, F, B　　设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
9 G- q% B) Q  |/ [　　①……x+y+z =100
　　②……5x+3y+(1/3)z =100
　　有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
1 g  I% t" M2 j( f$ }6 I+ k9 x　　令②×3－①得：7x+4y=100；
　　所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4
　　令x/4=t, （t为整数）所以x=4t
　　把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
9 m; }# p; Y) i- l' @　　易得z=75+3t
　　所以：x=4t
. z6 Q% a1 X, Y* ^* G　　y=25-7t
　　z=75+3t
　　因为x,y,z大于等于0
, T' b* D* \; H3 }% f　　所以4t大于等于0
　　25-7t大于等于0
　　75+3t大于等于0
　　解得t大于等于0小于等于25/7 又因为t为整数
, a  |4 _, v' @# s- W- P% h" \　　所以t=0,1,2,3（这里不要忘记t有等于0得可能）
4 ?- x, r& a$ h& P- m& Z. t　　当t=0时
0 T  N( p" O# i, w9 C　　x=0,y=25,z=75
　　当t=1时
　　x =4；y =18；z =78
　　当t=2时
　　x =8；y =11；z =81
2 k& Z( b( j' _& A% T- j9 y　　当t=3时
　　x =12；y =4；z =84
+ Q: Z6 v7 y, f6 X* f3 q编辑本段
/ i# s; e9 ?7 w9 f8 _4 @C语言解法
' v3 s& i0 P& U6 e! U; ^6 x+ w0 x
% }- s4 q# s1 g) A) u　　
#include <stdio.h>
- x% ~$ p- }: e* uvoid main()
{
; L& @* R( M: K7 G. o2 ~' k) Yint cocks=0,hens,chicks;
( {0 t7 V. H: z1 w6 j% ^while(cocks<=20)
{
$ a# Y7 R7 f6 X& qhens=0;
while(hens<=33)
; ^& s0 W* G( I( P0 A0 Q{
8 t- j/ \  u5 n8 Y) b" Tchicks=100-cocks-hens;
if(5.0*cocks+3.0*hens+chicks/3.0==100.0)
printf("公鸡%d只，母鸡%d只，小鸡%d只\n\n",cocks,hens,chicks);
0 V6 q* a1 e0 m0 n3 P5 }9 x, [hens++;
}
cocks++;
}
}
7 d% e& `5 [. u+ c$ v, V输出结果为：
( K. l6 z) I) T$ J) [7 `　　公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
　　公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只
6 U) ?% E$ j& i, m　　公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只
　　公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
编辑本段
( E4 o1 {( S4 X/ E1 l3 J5 ejava语言解法
1 D, U' G" B% F, ^
( c( |! F% j" s: T2 H　　public class BaiJiwenti
　　{
　　public static void main (String [] args)
　　{
* P2 c4 Q7 d: ?& K. b4 y9 n　　for (int x = 0; x <= 19; x++)
) Y8 \5 K1 M, X' _　　{
" }. K9 g2 r# f" o4 I　　for (int y = 0; y <= 33; y++)
2 a8 O  Q, _& P4 a5 j5 Z　　{
* Y0 F9 i# J  @　　int z = 100 - x - y;
7 q9 v. r, q) R% ~　　if((x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100 ) && z % 3 == 0)
9 E$ P6 Z' D: w6 T7 y5 Z9 B　　{
　　System.out.println("可买鸡翁只数:" + x);
　　System.out.println("可买鸡母只数:" + y);
+ Y! }" K/ R2 O, s3 A' u　　System.out.println("可买鸡雏只数:" + z);
9 Y% m/ n3 z) N3 ^( d# n& a　　}
　　}
　　}
& s: d0 Q8 b9 F5 e0 W2 @　　}
　　}
; @. u9 w1 ~2 s& o' W8 S2 w0 \$ q. Z

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