百鸡问题

marchboy

百鸡问题

　　今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。”
: A! t  C. [) r9 D编辑本段
原书说明

　　原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
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! p: B& g6 c; ]) c4 c5 n0 G解法
/ n0 E2 m6 B& r/ b( T. t, g: I! S' T
0 W. ]# l+ ^9 H0 ]2 L　　中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5 文钱，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。现在用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？
! P7 d1 _- p5 u2 k" o　　这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下：
　　设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
　　①……x+y+z =100
　　②……5x+3y+(1/3)z =100
　　有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
1 q" f5 f2 }, J7 j/ c3 i1 M& b　　令②×3－①得：7x+4y=100；
　　所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4
7 g7 H4 h/ H: a: l2 t5 L6 g/ G　　令x/4=t, （t为整数）所以x=4t
　　把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
　　易得z=75+3t
　　所以：x=4t
  |1 x: f  C# L　　y=25-7t
　　z=75+3t
　　因为x,y,z大于等于0
　　所以4t大于等于0
　　25-7t大于等于0
# c$ Q3 a# w8 r( K! Z- w　　75+3t大于等于0
　　解得t大于等于0小于等于25/7 又因为t为整数
　　所以t=0,1,2,3（这里不要忘记t有等于0得可能）
　　当t=0时
　　x=0,y=25,z=75
  W$ [( D& B% t5 I  w; a0 K: P+ j　　当t=1时
　　x =4；y =18；z =78
8 t, [! m5 M; R+ x　　当t=2时
8 a( i+ y9 M$ j: w7 b' B0 u　　x =8；y =11；z =81
　　当t=3时
- {* f2 b* C* K: H/ B4 }, E9 S- e　　x =12；y =4；z =84
编辑本段
- ]( x7 z$ n5 b: ^5 XC语言解法
' a0 g0 R. v+ T9 Q
　　
#include <stdio.h>
void main()
& E+ L2 {3 Z& ~: f0 |. e4 C& g3 B9 B{
int cocks=0,hens,chicks;
# b2 d5 _' e2 owhile(cocks<=20)
{
3 u3 U+ ~$ q3 L. s1 chens=0;
/ p5 M' z+ a  J* \0 X# i( Wwhile(hens<=33)
{
chicks=100-cocks-hens;
if(5.0*cocks+3.0*hens+chicks/3.0==100.0)
( }1 `0 ^( s7 f0 G* o  _) f' }printf("公鸡%d只，母鸡%d只，小鸡%d只\n\n",cocks,hens,chicks);
' C) A: l9 h( t& e: E# S- {0 ^hens++;
}
& @, O5 [: W) R$ B! Q! m- s! ccocks++;
}
}
: }2 {, S( V, b( w. [& ~输出结果为：
( ?$ B+ }" ?7 C+ d1 \- u7 A　　公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
$ o! k% E, X$ H* g　　公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只
　　公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只
) D$ T9 E& N4 u" s4 X　　公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
* T$ G4 N, A' @8 _8 B# y编辑本段
java语言解法
2 B) p# d/ x# o: I5 J/ E! u
  d- B" J0 p$ _9 b　　public class BaiJiwenti
' D8 K, ^. U& Z# I9 p! T　　{
; U: H- `( j9 h* w, I　　public static void main (String [] args)
+ f* X2 g, l& `　　{
/ }4 J1 t  t& Q* _$ o　　for (int x = 0; x <= 19; x++)
3 P, c6 w- x. @! N　　{
: y, B* ?! @& p0 w7 q  D; r0 L　　for (int y = 0; y <= 33; y++)
# U. o+ \# f( R- a: s6 Y　　{
　　int z = 100 - x - y;
/ u3 O, K" z2 A　　if((x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100 ) && z % 3 == 0)
　　{
2 J0 {. l, q6 p9 J* L1 L　　System.out.println("可买鸡翁只数:" + x);
　　System.out.println("可买鸡母只数:" + y);
, [- D  e5 C' p& Y$ H　　System.out.println("可买鸡雏只数:" + z);
　　}
　　}
　　}
1 q8 z2 V" s4 P, ^  {8 W% n* f0 q2 C　　}
! q3 I  p" y) ~  P$ i1 T　　}
, y$ j% {- ], y, m

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