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本帖最后由 lili456 于 2012-5-28 11:31 编辑
/ r3 I/ a2 E8 C# m h& d) c
u/ t) _% c+ F' e+ s d3 E. l5.1.3 多项式乘法和除法
. q! d" x4 {' V在MATLAB中,使用函数conv()对多项式进行乘法运算。其调用格式为c=conv(a, b),a和b为多项式的系数向量,该函数实现向量a和b的卷积,在代数上相当于多项式a乘以多项式b,其中c为相乘所产生的多项式的系数向量。
% A2 d1 N* \0 K7 L【例5-6】 求多项式 和 的乘积。采用函数conv()实现,其MATLAB程序如下:
; S& \4 s, C. G2 T. x8 k) e- r! @* E: V0 F4 V" F& k' \2 ~
p1=[4 2 0 5]; %缺少的幂次用0补齐, s8 S+ m$ d7 v7 U4 i7 v# s
p2=[5 8 1];+ X- I& Y- C8 L, J. W" U
y1=poly2sym(p1)! u* O8 W8 W( \
y2=poly2sym(p2)- D; E. a' b/ c- f$ N
p3=conv(p1,p2); %多项式相乘7 Y! [+ v. n5 M3 ^+ K
y=poly2sym(p3)
8 z3 Y, U4 j4 ~8 f) W K2 t# G+ M6 L" z; N \2 |
运行程序后,输出结果如下:. W+ d$ E6 R. l% Q# p' j, c" [
/ r: D% P7 m5 ~- _' h0 X
y1 =
4 [ U+ N$ a! f4*x^3+2*x^2+5 B U3 }# L$ N3 ~6 u. p. s: ]! B
y2 =3 b( E! t5 ]$ l* [9 E
5*x^2+8*x+1
) z- y" `; x2 J! Y( h9 vy =7 q Q9 C9 `7 b" o! p5 V, N+ p7 ?* ]) B! F
20*x^5+42*x^4+20*x^3+27*x^2+40*x+50 n+ n, ?% P, B, h/ B! T4 }0 ~
7 h( Q5 K. X3 T) @5 B
在MATLAB中,采用poly2sym()函数将向量作为多项式的系数进行输出,和其相对应的函数是sym2poly(),该函数将输入多项式的系数提取出来,作为向量进行输出。对于例5-6程序也可以用poly2sym()函数实现(和例5-6的计算结果相同),其MATLAB程序如下:; G" a! o7 A: X7 F+ J0 [
8 c S7 S0 I0 i, } b6 e& _/ u: l>> syms x
% E) I0 H! L( I Q& kp1=sym2poly(4*x^3+2*x^2+5)9 S' O% w! c* ?
p2=sym2poly(5*x^2+8*x+1)% N. G' T+ a a
p3=conv(p1,p2); %多项式相乘
" @' d5 ?5 K5 J: t, i2 a ly=poly2sym(p3)3 M% K1 U7 }: ^0 s; a' L
R6 q4 Y( I/ u/ N4 B$ n
运行程序后,输出结果如下:
6 Y7 w) v- P, q, d9 g9 j1 Q) b# Q: y6 v& s) l6 J
p1 =
" v2 Y) J- W) `) ?; \* a% b: |5 W& n 4 2 0 5 M, x4 Q R7 p1 x d2 b: U1 X% \
p2 =
9 C. P& P$ D" Q* [2 m 5 8 1: V1 x4 \4 _; T- m; l% E: n0 b
y =1 Q/ h X% n2 E$ c) x6 f
20*x^5+42*x^4+20*x^3+27*x^2+40*x+5
0 |6 P) z* q9 n: }6 }
, ^7 A$ i2 ^5 }/ U9 ?在MATLAB中,使用函数deconv()对多项式进行除法运算。其调用格式为[q, r] = deconv(a, b),实现解卷积运算。其中a和b为多项式的系数向量,在代数上相当于多项式a除以b,得到的商为q和余多项式r,它们之间的关系为a = conv(b, q) + r。
( I4 R: c/ b6 Q4 ^+ |: b I【例5-7】 求多项式 除以多项式 的商和余数,代码如下:. b2 L4 l2 X1 I4 n
; ^/ f6 e# Y: a
>> p1=[4 3 8 1 4];
! P; l, z3 @; S4 i0 q" P( y: op2=[2 3 1];
( |$ `7 L( {1 ~* J[q,r]=deconv(p1,p2); %多项式p1除以p2
' q/ h( b I r, cy1=poly2sym(q) %商
/ N7 x1 t9 ~" Q" l7 z! E8 q6 |+ Cy2=poly2sym(r) %余数
& G5 R! s, E5 P- Y4 K. f4 c' \2 N) o* Y
运行程序后,输出结果如下:* P5 c u0 V% g: V% _6 h
/ [- l W) w2 t3 i4 b0 o5 t; ly1 =% o8 s, E! A: F
2*x^2-3/2*x+21/46 p! s7 d7 h( h$ l
y2 =$ X$ _7 e$ n8 L2 Q# w4 g, S
-53/4*x-5/4/ _( s/ u( t1 z o; n$ W
- G5 W9 K% j {. v- m; J
5.1.4 多项式的导数和积分
$ i" ~) Z, W& I: ]9 A' ^0 T在MATLAB中,通过函数polyder()和polyint()分别对多项式进行求导和积分。求导和积分互为逆运算,如果先对多项式进行积分,然后再求导,结果仍然为原来的多项式。下面对多项式的求导和积分分别进行讲解。
# K. v5 t% `" T' E3 K6 O* P3 d1.多项式的导数
: j5 J9 h( ?9 I* E8 S5 p/ Y$ \在MATLAB中,采用函数polyder()进行多项式的求导,调用方式如下。
* ?6 N2 N! p, s0 |, g- d y=polyder(p):对以向量p为系数的多项式求导。1 K; J! N' x7 l+ g) V
y=polyder(a, b):对以a和b为系数的多项式乘积进行求导。0 |/ y! v/ m3 Y/ T0 p# a
[q,d]=polyder(b, a):返回以b为系数的多项式除以以a为系数的多项式的商的导数,并以q/d格式表示。
7 p& f: ^0 i$ R* T4 j" q【例5-8】 对多项式求导,其MATLAB程序如下:
) Q% g2 _2 \4 P: O% I+ X3 [
$ }+ t" j2 \7 W. M2 Z>> p1=[4 3 2];
9 `5 {5 b/ J5 q/ Rp2=[2 2 1];
7 }6 m) @# y# [$ Fy1=polyder(p1); %对多项式p1求导& J/ ^2 F; f$ D3 a9 Q
y1=poly2sym(y1)' }. q4 r/ @, w3 Q: B1 N6 ]3 P1 G2 ]
y2=polyder(p1,p2); %对多项式p1和p2的乘积求导8 p9 h, g4 N1 X1 g3 Z: n
y2=poly2sym(y2)
/ |7 i, w4 A# N[q,d]=polyder(p1,p2); %对多项式p1除以p2的商求导
* B. O* K+ \/ c; @9 E* V* W# a% Cq=poly2sym(q)
1 W8 q. p) U C! v: {2 h, Kd=poly2sym(d)
5 _& n/ A+ t# ~8 s
4 r5 N8 y2 j2 G Y1 \0 a9 l运行程序后,输出结果如下:
3 _9 \% l: [: R( J+ y: V- R3 z# M( L: n2 ?
y1 =% c" g* i# N- ]! g' {
8*x + 3- w' j7 Q+ P3 Z4 i
y2 =
! X# Q0 W7 H- k) n" |+ n32*x^3 + 42*x^2 + 28*x + 7
) g% e& T) J: |3 Rq =$ X! B2 y* J/ k; C
2*x^2 - 11 g* C' b8 g: l D" E8 L% {
d =1 y* z! @( a. \7 b" }4 Y
4*x^4 + 8*x^3 + 8*x^2 + 4*x + 1) O' n$ V. }( h3 S/ s' w. F- V8 Y/ ?4 S
% u7 o$ B" I0 [' g7 P( ~
在MATLAB中,通过函数polyder()对多项式进行求导,通过对输入参数和输出参数个数的不同,对相对应的多项式进行求导计算。对于函数[q,d]=polyder(b, a),相当于对多项式 求导,结果为 。
) \, U9 @, }+ H9 t! n2.多项式的积分2 T" e" c( {5 N6 M2 }
在MATLAB中,使用函数polyint()对多项式进行积分运算,其调用方式如下。) J I1 x+ o9 G i9 X* B
polyint(p, k):返回以向量p为系数的多项式的积分,积分的常数项为k。6 _; i, t3 `& {" g/ g- n
polyint(p):返回以向量p为系数的多项式的积分,积分的常数项为默认值0。$ d- D- h) g r% a! d0 K
【例5-9】 对多项式 进行积分运算,其常数项分别为3和0,其实现的MATLAB程序代码如下:* Y. m, Q2 J, P4 f! u% Z! ^
. j, K9 R1 j0 ]6 r1 X% hp1=[3 2 2];
, ]$ z! V0 f, z. @( b# Dy1=polyint(p1,3); %对多项式p1进行积分,常数项为3. y. |" R8 b% w* M* H$ }
y1=poly2sym(y1): V$ Z6 ~9 ~& `$ W" W9 v* w- x$ m
y2=polyint(p1); %对多项式p1进行积分,常数项为0* \# `- f: R8 n. \# }8 r. O
y2=poly2sym(y2)
8 p6 j6 [' K6 j( p' v1 [: q0 G6 S- N! }" M; P6 x5 L
运行程序后,输出结果如下:: z( H1 y! X0 |
! V1 E" S% M j# H3 u' B2 ey1 =
- \% R3 p- Y! W1 t+ J' e3 G$ Y" mx^3 + x^2 + 2*x + 3
4 B+ x! k+ `0 L' ^: ~- Xy2 =
$ a* ]5 F R9 P+ z- }' b* ix^3 + x^2 + 2*x% P. B4 }9 g% G
- H0 L5 T# g$ b* |
通过polyint()函数对多项式进行积分运算,积分的常数项通过参数k进行设置。如果不对参数k进行设置,则k取默认值0。2 D. S3 V7 r: s$ h
5.1.5 多项式展开
0 n& l# V4 K3 Q9 n在MATLAB中,有理多项式用它们的分子多项式和分母多项式进行表示,函数residue()可以将多项式之比用部分分式展开,也可以将一个部分分式用多项式之比进行表示。函数residue()的调用方式如下。
( | `, v' D% I) q. c; u [r, p, k]=residue(b, a):求多项式之比b/a的部分分式展开,函数的返回值r是余数,p是部分分式的极点,k是常数项。如果多项式a没有重根,部分分式展开的形式如下:
5 r9 U# x9 }( H* M2 X1 a # z( ? o& V4 _1 y7 L
其中向量r、p的长度和向量a、b的长度有如下关系:
5 m5 l. F! v7 z
) z/ X0 c9 a" J$ ?' g- P! O# ]* \当向量b的长度小于a时,向量k中没有元素,否则应满足:$ D; H( l8 P' ?. s u1 [
* W8 X- Y8 `( b1 W% F. d [b, a]=residue(r, p, k):通过部分分式得到多项式,该多项式的形式为b/a。1 U+ O3 N7 G( `4 Z; }6 ^
【例5-10】 将多项式 和 展开成几个简单多项式的和。其实现的MATLAB代码如下:
1 n8 P5 w* E7 R: K$ k% i
2 O8 _, A6 @$ v F8 O9 g1 i3 t>> clear all;
! ^1 s4 _ |* K9 T) t* z2 dclear all;
( D5 d' J* k" p! i% a0 t6 yb=[1 -1 -7 -1]; %分子多项式- Q( _# H, D. L C
a=poly([1;5;6]); %分母多项式
- K( Z( A ]' S/ R6 d[r,p,k]=residue(b,a) %进行多项式b/a展开" m+ ^. @* m7 O, H- C% a* Q
[b1,a1]=residue(r,p,k); %通过余数、极点和常数项来求多项式b1/a1
0 i% J+ n- j3 W4 r* Gb1=poly2sym(b1)& `' ?& C* l; p" m
a1=poly2sym(a1)
* |$ @7 Z$ z: Rb=[1 -1 -7 -1]; %多项式a有三重根 i% x# n w4 L
a=poly([1;1;1]); %分母多项式
- P5 b6 v! J0 J: k' ^[r,p,k]=residue(b,a) %展开多项式b/a
' d# G- X' K$ b8 ]1 V0 Y" I$ u. v
! A; |, I4 T: [/ c3 l运行程序后,输出结果如下:8 h) r" B, f7 W- ~( c/ @" c. n
6 s- G3 J) [$ X0 E1 Q" o7 Kr =7 m! ^/ S) g+ _9 w( N' s$ j8 z
27.4000" B- ^ T8 a' }3 {5 O, n
-16.0000
4 ~& [1 j% f- E$ x -0.40001 s* f B( m l$ e* ]8 ]# G' o
p =/ q5 j4 T9 \9 i$ i* [: j% u
6.00008 n6 c. h9 h. @9 }6 s8 s A. d
5.0000
7 C2 ~+ Y- _" |, z- w7 b9 j- C 1.0000
% B: {9 \0 k1 [6 Rk =
. [# D7 o% D% V6 N 1 w* U9 N0 K, Z6 B9 X6 Q# r, B
b1 =
5 c8 B6 b0 Q- d% Bx^3 - x^2 - 7*x - 1
5 q$ Z$ Y+ e0 d! G# \% ya1 =
9 j, N( d6 y) S- c% {# j& G( ax^3 - 12*x^2 + 41*x - 30
0 M& u/ x& b$ B- i6 |r =
- Y' {. W) F# R7 D1 I' X3 D+ v 2.0000( |: Y E9 b+ q* Y9 Q9 N/ f
-6.0000
: h+ Y- T0 [/ ~0 X* t$ M -8.0000( c0 |& j$ k! [* A5 R" O
p =
. z2 u( @* V5 j 1.00004 |( }- z: ~) m
1.00000 O: |8 @ |6 [: m- j8 e% I; y
1.0000
2 n. w$ K, [2 s" |) Ok =
; ~3 s( S! h7 Y+ j4 y' ] 1
' D/ Q( h8 q3 y. x; [* C
' x' k# I4 j: g# f利用函数[r, p, k]=residue(b, a)将多项式b/a进行展开,结果为余数、极点和常数项。对该多项式进行展开后的结果如下:
6 N9 K* g( i# ?" u+ k1 } v8 G 将余数、极点和常数项带入函数[b, a]=residue(r, p, k)中,可以求得对应的多项式,并通过b/a的形式给出。; f+ T8 g# ]- v+ g. _. H6 B
当多项式a有三重根1时,对多项式进行展开后的结果如下:
6 A- d# R0 m3 f3 ]9 f2 h7 e" N9 K- P2 a* O2 P" s: I
# L, z1 ~/ j) ^" R2 X
* S$ ]; h- E* v! ~3 z
9 I" _1 W+ R( U |
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