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本帖最后由 lili456 于 2012-5-28 11:31 编辑 2 T" q6 q/ ]2 M# H, D/ c& K
2 {3 |7 i7 m# j$ Y. v& L# k
5.1.3 多项式乘法和除法
2 T" d4 e6 e: C在MATLAB中,使用函数conv()对多项式进行乘法运算。其调用格式为c=conv(a, b),a和b为多项式的系数向量,该函数实现向量a和b的卷积,在代数上相当于多项式a乘以多项式b,其中c为相乘所产生的多项式的系数向量。
0 }9 d/ s+ N6 E% e6 M6 Q) G【例5-6】 求多项式 和 的乘积。采用函数conv()实现,其MATLAB程序如下:
% ?7 F+ r8 m+ d: D; G$ s1 z5 H* _4 K3 H
p1=[4 2 0 5]; %缺少的幂次用0补齐
, h" z9 S8 x9 _. o2 Np2=[5 8 1];( s( r. }8 S1 |* y$ R
y1=poly2sym(p1)
% e% j; i7 {6 l8 l) j5 h) v% Ty2=poly2sym(p2)
d; w7 Z/ s! q0 N- w; g1 m- lp3=conv(p1,p2); %多项式相乘
. B/ _, L/ n7 V" S; ?: j6 Jy=poly2sym(p3): Q/ i: @* } ?* i2 d8 L
" d3 Z6 N$ X, e) c) ]. m, c6 m
运行程序后,输出结果如下:( }" S* J5 H) q+ M8 R* L3 B J
, {* y9 _! |/ N+ V) I
y1 =6 x/ ]6 B1 T! ~, y6 D1 W
4*x^3+2*x^2+5* g6 Y X' G) w" X. c3 O4 L6 s
y2 =
`6 z+ q r& K$ |5 J5*x^2+8*x+1
8 Y9 `; P& |& f* \y =
* f; w; @8 N! B/ m* t& y8 M8 N' G1 n20*x^5+42*x^4+20*x^3+27*x^2+40*x+5' Z& a/ u: c" g8 b8 t- S% i
5 G0 T' `. B! }" {0 @1 A
在MATLAB中,采用poly2sym()函数将向量作为多项式的系数进行输出,和其相对应的函数是sym2poly(),该函数将输入多项式的系数提取出来,作为向量进行输出。对于例5-6程序也可以用poly2sym()函数实现(和例5-6的计算结果相同),其MATLAB程序如下:6 w" \ k+ \3 a2 j4 y O
0 f: `: t o1 ^# U>> syms x6 K5 b2 X9 b+ B6 L% g8 y# {6 H
p1=sym2poly(4*x^3+2*x^2+5)5 i6 W. w1 Z7 B) ^ k
p2=sym2poly(5*x^2+8*x+1)0 ^+ Y+ @7 |4 ~' t% f C# c2 S
p3=conv(p1,p2); %多项式相乘
( o! {; X) t+ l. J6 c2 Oy=poly2sym(p3)
* `5 J! M* f4 I, X; J
( `1 [9 u: E: l. N3 i1 d: W运行程序后,输出结果如下:
5 ^+ a! E! ?, W% j- C' v) N) E0 M- o+ ?, a" @# M, R
p1 =* G+ O- m. e9 L" Z; v' N$ ~7 s, y1 |
4 2 0 5! R7 g4 Z& l/ k3 X7 [1 ]5 X
p2 =
$ G# J8 w' O7 W' U/ t. N: h 5 8 1" z8 o0 b5 x. _5 i! p4 J
y =
5 g/ m. ]4 g, P' v% r& l) f20*x^5+42*x^4+20*x^3+27*x^2+40*x+5
/ T" s+ n" y9 G# |* ?5 o- Y5 B" w# S1 ]+ e2 T
在MATLAB中,使用函数deconv()对多项式进行除法运算。其调用格式为[q, r] = deconv(a, b),实现解卷积运算。其中a和b为多项式的系数向量,在代数上相当于多项式a除以b,得到的商为q和余多项式r,它们之间的关系为a = conv(b, q) + r。
* w# z) J3 H8 p, I【例5-7】 求多项式 除以多项式 的商和余数,代码如下:
! d# y- l: X/ F
6 `) W: S& Y* b/ L! o* ^>> p1=[4 3 8 1 4];
{5 F3 `& T- k4 T' sp2=[2 3 1];
) ~* c! U( F8 e8 f[q,r]=deconv(p1,p2); %多项式p1除以p2$ A, U$ s/ a& V
y1=poly2sym(q) %商
! }' K. o+ b. O$ L& cy2=poly2sym(r) %余数; e( | Z: f) s# r
( {0 i& R( O2 G, w2 |9 Z( a运行程序后,输出结果如下:
- Q& s4 P8 v( `5 ?. j' r% `- j
% u3 o! U+ ^( p: R6 r4 p- x. fy1 =
_# u. e O( E. j2*x^2-3/2*x+21/48 y! h/ R) H+ ^7 P Q3 D' ]' b& \
y2 =
, Z5 Q. s( g5 z# X-53/4*x-5/4
/ B4 `' G$ M& ]% c( D b2 F: f! T5 P) W
5.1.4 多项式的导数和积分
7 ~7 d b, R1 ^: `1 w5 ~$ e+ `' v在MATLAB中,通过函数polyder()和polyint()分别对多项式进行求导和积分。求导和积分互为逆运算,如果先对多项式进行积分,然后再求导,结果仍然为原来的多项式。下面对多项式的求导和积分分别进行讲解。
. h# h# [8 W5 |% P1.多项式的导数
: f; t; \) R k8 { P7 P在MATLAB中,采用函数polyder()进行多项式的求导,调用方式如下。
( o- `# v% d3 J0 D y=polyder(p):对以向量p为系数的多项式求导。
, P5 Z0 G! R9 N& _5 W8 _. i6 p y=polyder(a, b):对以a和b为系数的多项式乘积进行求导。9 ]& {" ^" y; k, K8 v
[q,d]=polyder(b, a):返回以b为系数的多项式除以以a为系数的多项式的商的导数,并以q/d格式表示。
. a6 N$ s" D3 C. A【例5-8】 对多项式求导,其MATLAB程序如下: H! t$ o& K1 l8 e. f
9 t) T- {+ q! S% o( Y D
>> p1=[4 3 2];, u* F* W7 ^( G
p2=[2 2 1];* S; J$ z1 O6 o |. ]
y1=polyder(p1); %对多项式p1求导
2 z. ~) i7 j" ^4 D7 uy1=poly2sym(y1)
( k: w' a! E; h2 F, e: q% cy2=polyder(p1,p2); %对多项式p1和p2的乘积求导
1 {" ~5 \' [' c& f9 B8 Py2=poly2sym(y2)
- q% p! h0 y: o/ N5 i3 m# M: P[q,d]=polyder(p1,p2); %对多项式p1除以p2的商求导
% F" {9 i! ~: d- M' \0 z; oq=poly2sym(q)
' ~9 G' o8 D8 M9 o4 ^+ E/ Q3 Yd=poly2sym(d)
+ E; X' l1 G" l$ j& ~! T
3 s* Q6 ?$ g# I2 |; \% g3 h运行程序后,输出结果如下:
1 H# P0 ]1 h6 }9 B5 G3 B" V1 M4 G
y1 =2 J! n$ I6 L5 l
8*x + 3
: j+ B. B$ ]' W+ ]) Ry2 =, v% R* q. Y) g' }2 z
32*x^3 + 42*x^2 + 28*x + 7
9 W) [* J) r* o( V0 o3 v" l7 ^q =
P% x' a" t) f, P, ~2*x^2 - 1! s" c0 T# K, I# u4 h+ X' i4 E' ?
d =
$ y1 e3 B0 ~7 O, I7 g" h6 m4*x^4 + 8*x^3 + 8*x^2 + 4*x + 1
+ o% ~% ^1 P$ G+ u7 C, f2 L
5 \' S- p6 L& c s3 G在MATLAB中,通过函数polyder()对多项式进行求导,通过对输入参数和输出参数个数的不同,对相对应的多项式进行求导计算。对于函数[q,d]=polyder(b, a),相当于对多项式 求导,结果为 。4 n' y+ i8 O0 |5 t
2.多项式的积分. J2 A8 f9 }7 t8 F3 Q
在MATLAB中,使用函数polyint()对多项式进行积分运算,其调用方式如下。
; |3 Q$ ^8 Y/ c+ Y0 j m q polyint(p, k):返回以向量p为系数的多项式的积分,积分的常数项为k。6 |/ g* b; p3 X5 C3 u0 r8 i
polyint(p):返回以向量p为系数的多项式的积分,积分的常数项为默认值0。
) L7 v$ j! m6 s2 K5 E& T【例5-9】 对多项式 进行积分运算,其常数项分别为3和0,其实现的MATLAB程序代码如下:
( w" n" d8 u! W& ~/ {) I6 D) J
, G% X# C- k. S; h* ]! `p1=[3 2 2];+ h* e/ \; X1 [" A+ y3 V! P# F
y1=polyint(p1,3); %对多项式p1进行积分,常数项为3
8 j3 V/ z! d6 m9 u2 Py1=poly2sym(y1)
$ c) Q; C$ o( S3 W, {y2=polyint(p1); %对多项式p1进行积分,常数项为04 | P& A7 f: a" t& {2 K$ H
y2=poly2sym(y2)
. c9 h; Z2 `% Q N/ _
p6 c; V* C% s0 w8 O0 ~运行程序后,输出结果如下:
& L$ y) K5 I3 p( y' A
+ c% x$ n4 q* l$ R# o, \y1 =1 [2 ~/ S3 s' r1 E; d9 c
x^3 + x^2 + 2*x + 3& o# H( b0 H7 k! Z/ `) O& w$ l, y6 M
y2 =: F' i! I$ s) M6 m% m
x^3 + x^2 + 2*x
! i' G& A2 L9 R+ I
0 D' L! r$ d7 C' d" I( h通过polyint()函数对多项式进行积分运算,积分的常数项通过参数k进行设置。如果不对参数k进行设置,则k取默认值0。
W0 l2 \. G- o2 l) _- }5.1.5 多项式展开
- G' N6 o7 j8 R3 Z( f在MATLAB中,有理多项式用它们的分子多项式和分母多项式进行表示,函数residue()可以将多项式之比用部分分式展开,也可以将一个部分分式用多项式之比进行表示。函数residue()的调用方式如下。
! R( o3 Q- K) }2 w! R2 W [r, p, k]=residue(b, a):求多项式之比b/a的部分分式展开,函数的返回值r是余数,p是部分分式的极点,k是常数项。如果多项式a没有重根,部分分式展开的形式如下:
- ]2 A/ r0 w5 u% M/ Y; i4 E) }
3 \4 z: S! F& ?5 `# r/ P5 x. b其中向量r、p的长度和向量a、b的长度有如下关系:/ \) X1 s" u3 L4 y; e0 l2 @% S
) ~, m: G( T. ~( {) G
当向量b的长度小于a时,向量k中没有元素,否则应满足:
2 L( r4 `1 P6 G: l: H1 j: z
, A) x' j; s& S$ O# \' [ [b, a]=residue(r, p, k):通过部分分式得到多项式,该多项式的形式为b/a。
2 z: S% o) Z7 @( N1 u+ @6 w7 Q【例5-10】 将多项式 和 展开成几个简单多项式的和。其实现的MATLAB代码如下:
4 Z! q. C& z# [8 a; t8 X
3 z0 J9 Z- y& S- ?2 w; w0 c>> clear all;6 m6 L7 _' r' X# A2 V; R! x% P; g' ?
clear all;
! g% t( S* ?6 c9 ]. A. qb=[1 -1 -7 -1]; %分子多项式
8 \% T" J( p" d6 ^6 ^8 ga=poly([1;5;6]); %分母多项式
$ N& `2 g5 m5 b3 d# z[r,p,k]=residue(b,a) %进行多项式b/a展开
, Q9 u% j+ S* k' W d[b1,a1]=residue(r,p,k); %通过余数、极点和常数项来求多项式b1/a1, L# W* C5 T/ g# v
b1=poly2sym(b1)) G2 P' q. K9 K3 N$ [
a1=poly2sym(a1)9 t% P- _) e {0 o' e% S! m
b=[1 -1 -7 -1]; %多项式a有三重根( H2 j3 E4 J2 P, s5 q A
a=poly([1;1;1]); %分母多项式% M1 i' f1 f( ?& n+ n9 L
[r,p,k]=residue(b,a) %展开多项式b/a 6 P l7 d* ^5 Z/ a) n- Z# N
9 c% f5 M3 S6 Z! e& t运行程序后,输出结果如下:2 B& T0 h0 X5 `
6 M+ y9 a0 @8 M0 \
r =
% [, r9 i. F! z4 G2 b$ _1 D 27.40002 ^7 Z5 I1 B& X/ U
-16.0000
& e4 U ~ ~& u4 V0 _7 d -0.4000
, }; h4 f8 t8 N9 jp =, e' U/ d7 W- ?# a M
6.0000
$ x1 W2 N3 M3 V% {' P 5.0000
W6 s* U: b) ^- c3 N 1.0000
! H) y1 [( L7 }9 b) G& A1 Mk =
1 `0 U% T/ I r" f/ I# b+ I 1
7 m6 A- `9 s2 {1 a( Q+ b1 ?4 mb1 =
# t" ^+ B1 ^( v% `5 V7 ex^3 - x^2 - 7*x - 1' u. E% |8 G# z. r) r! \
a1 =4 }% ?: l# M9 o( g9 u0 Y
x^3 - 12*x^2 + 41*x - 308 n X* R0 |; T. C" X! D
r =3 @! `6 M' Z: j! U
2.00005 d, L& v) u H; l: t" J
-6.0000
# H" s) w7 u6 j4 |# c+ c& | -8.0000
$ h# P( G8 `6 l1 K1 W. h4 op =& j' D( T7 p* L8 a7 K5 r) j
1.00005 ?. s% J8 N: d" |- h# b$ x. S
1.0000
7 w: s/ c# w% G) f6 U( Y! _ 1.0000
: O2 g) D1 N6 W2 qk =
5 M9 }! B" j* D1 s2 o' a: J6 f 1" }0 L8 s* g( Y. |' D$ ?: r+ ^5 u" `9 Q
2 `) X7 z1 x6 ^, w
利用函数[r, p, k]=residue(b, a)将多项式b/a进行展开,结果为余数、极点和常数项。对该多项式进行展开后的结果如下:
: y; }" R+ `) [1 z2 W 将余数、极点和常数项带入函数[b, a]=residue(r, p, k)中,可以求得对应的多项式,并通过b/a的形式给出。
9 X/ `# j0 Y2 M {2 O' \当多项式a有三重根1时,对多项式进行展开后的结果如下:& Z, p" q2 l. X
' y/ L! q" U8 R$ w6 O: y O1 C
+ z) J6 j7 j4 \2 T! l/ f u1 {* G* \
r# W6 Y8 e6 v& ^0 f
+ d5 Z) Z6 X' f r) {
|
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