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本帖最后由 lili456 于 2012-5-28 11:31 编辑
" y; E' x) w$ q4 h; I4 p
% T1 G* @: a1 u* B* N+ R5.1.3 多项式乘法和除法
; o0 h% ]- K$ G5 _在MATLAB中,使用函数conv()对多项式进行乘法运算。其调用格式为c=conv(a, b),a和b为多项式的系数向量,该函数实现向量a和b的卷积,在代数上相当于多项式a乘以多项式b,其中c为相乘所产生的多项式的系数向量。7 F3 b! Q9 D6 h# t; \) h: @
【例5-6】 求多项式 和 的乘积。采用函数conv()实现,其MATLAB程序如下:
9 W4 F3 S# L, ^: Y
' _- A' y! Z. i. B6 w; J7 W' T! r. n: Fp1=[4 2 0 5]; %缺少的幂次用0补齐5 z* G+ ~) I- M3 @$ [* W
p2=[5 8 1];5 Q: C3 ^' k" a3 }
y1=poly2sym(p1)* M8 F( Z! }- G$ n% H4 p& B
y2=poly2sym(p2)" g7 @3 |4 i! d& b9 [9 C; V
p3=conv(p1,p2); %多项式相乘( w$ I: [" r D7 o( q. N
y=poly2sym(p3)
/ z' g" K; `% \; k3 M. s% r! a+ B9 K2 k- Z: |+ S% d+ |( G
运行程序后,输出结果如下:7 |+ P. s2 D" A4 g+ t
7 e, L1 [: p" Z! J
y1 =* o* T. t+ R1 w, ]' a! ^
4*x^3+2*x^2+5: c$ R& L9 C* Q# {0 S; V
y2 =
, K5 n9 b; M: ^1 _6 ~0 N. W5*x^2+8*x+1+ o+ r% @. z; W( O5 y9 A9 H
y =
; f2 t$ E; _ q+ R. ]- t9 e( R20*x^5+42*x^4+20*x^3+27*x^2+40*x+5) g) h% B* D5 A7 p; n
& u$ E4 z4 F a1 @0 _
在MATLAB中,采用poly2sym()函数将向量作为多项式的系数进行输出,和其相对应的函数是sym2poly(),该函数将输入多项式的系数提取出来,作为向量进行输出。对于例5-6程序也可以用poly2sym()函数实现(和例5-6的计算结果相同),其MATLAB程序如下:
! J. G7 G) E2 A8 H! C7 O+ \! J8 i$ X9 l- S O' x2 `* O
>> syms x
- U7 L8 f1 m# s c" q8 P. gp1=sym2poly(4*x^3+2*x^2+5)
8 ^: H* v2 O5 Xp2=sym2poly(5*x^2+8*x+1)
- E2 N' X! j, N0 G7 G% Zp3=conv(p1,p2); %多项式相乘8 Y' c% y1 o+ y( o
y=poly2sym(p3)9 T3 P1 q t# H
3 p/ f. ?+ h9 l: E
运行程序后,输出结果如下:! M$ J! R. z& O( f# F
: k! E* k$ `8 k A6 D* {
p1 =
+ P Y; U& ^0 J- S9 ? 4 2 0 5
* \: D; @" E; Fp2 =
6 C# V, X' r) [: h* x* y; E 5 8 16 G) C' t) j2 [, Y1 G- L! T$ o
y =: G9 f% v6 I& |6 [
20*x^5+42*x^4+20*x^3+27*x^2+40*x+56 i {0 i5 h$ s0 R8 O
" r8 O6 i2 S: b) ~8 `9 p
在MATLAB中,使用函数deconv()对多项式进行除法运算。其调用格式为[q, r] = deconv(a, b),实现解卷积运算。其中a和b为多项式的系数向量,在代数上相当于多项式a除以b,得到的商为q和余多项式r,它们之间的关系为a = conv(b, q) + r。
& B1 V9 r9 B) r+ N( V2 i【例5-7】 求多项式 除以多项式 的商和余数,代码如下:
4 `; l7 n/ `- n/ M2 w& @1 B1 W q
>> p1=[4 3 8 1 4];, {1 p3 f6 ~1 ]9 B
p2=[2 3 1];
4 `9 J, @3 l- o, n s4 M[q,r]=deconv(p1,p2); %多项式p1除以p2
; R9 {( [+ _5 G( Ty1=poly2sym(q) %商7 m& x( v- U! }5 L) `9 U
y2=poly2sym(r) %余数
8 h1 A0 h/ `) Y0 |- z$ {. Z4 r8 ^6 D+ F6 r
运行程序后,输出结果如下:5 P& B K% Y& O# y
" \! [1 t3 b5 X7 b# p5 v* ]
y1 =
8 m! D2 [: a4 H: H6 w, d5 ^ W, T2*x^2-3/2*x+21/4
" F' R& p) {2 Yy2 =0 J( P7 r, {9 P+ C- ]$ f! X+ l j
-53/4*x-5/4
" r* @ H& v& s1 d9 H/ ^$ x0 k+ C' V7 ^4 Q
5.1.4 多项式的导数和积分7 w( W' ]! X& Q ?7 h" F
在MATLAB中,通过函数polyder()和polyint()分别对多项式进行求导和积分。求导和积分互为逆运算,如果先对多项式进行积分,然后再求导,结果仍然为原来的多项式。下面对多项式的求导和积分分别进行讲解。: N' e1 j5 O( u S! ^/ Q+ x% m
1.多项式的导数2 w' F# c- `9 }
在MATLAB中,采用函数polyder()进行多项式的求导,调用方式如下。3 Y! a% E, _* Q( M! U7 y4 h
y=polyder(p):对以向量p为系数的多项式求导。
v, V1 u) N$ l0 s5 y2 O y=polyder(a, b):对以a和b为系数的多项式乘积进行求导。
: _$ q! J, L7 X1 i [q,d]=polyder(b, a):返回以b为系数的多项式除以以a为系数的多项式的商的导数,并以q/d格式表示。
; D, P( j& m( U3 \6 U3 W6 m【例5-8】 对多项式求导,其MATLAB程序如下:) X- N) [. R' M) `
* m! h: t$ B' g! C! M
>> p1=[4 3 2];4 W4 A. q8 M* K5 g# G P1 ~
p2=[2 2 1];4 Q! l3 F& R! H- Q4 U6 w y
y1=polyder(p1); %对多项式p1求导
8 |" D9 g) H9 hy1=poly2sym(y1)
+ |. X* _' |+ [y2=polyder(p1,p2); %对多项式p1和p2的乘积求导
; a4 K% \; q+ {2 W+ a4 }9 Ty2=poly2sym(y2)1 X7 ?9 J. v( b; {, ^% L
[q,d]=polyder(p1,p2); %对多项式p1除以p2的商求导' p+ P" l: U0 c0 Z) y
q=poly2sym(q)
" J5 ]3 c' w8 Y- r' @5 K/ H3 xd=poly2sym(d)
2 W/ _, k; @4 b, n1 L, X( z" S& H' F. x. ]
运行程序后,输出结果如下:
% {5 \, F$ I K( b1 e1 C0 k; x2 u0 q8 q) r8 b$ H3 V5 z
y1 =" t* U: y4 C. _
8*x + 3: g- G' M' y6 {9 ~+ J, J
y2 =* n" _. Z: }7 i J, D" f# z
32*x^3 + 42*x^2 + 28*x + 7. I5 H# N. d, T! r3 n( ]* H' v
q =% a0 w2 ~ D) Q* Q5 U8 ~# s
2*x^2 - 1
) D( s7 h+ c/ Q5 @) N. w- n, K+ Qd =
# X: U, I2 z- j" q v o+ j4*x^4 + 8*x^3 + 8*x^2 + 4*x + 1
( t( D" V P# f. K6 t
1 E& Q$ ^! u+ s7 z, P在MATLAB中,通过函数polyder()对多项式进行求导,通过对输入参数和输出参数个数的不同,对相对应的多项式进行求导计算。对于函数[q,d]=polyder(b, a),相当于对多项式 求导,结果为 。( p* t4 t: u/ I4 C0 V8 c9 H
2.多项式的积分
; W( _5 ?0 L+ a6 K# _# Y6 r7 F在MATLAB中,使用函数polyint()对多项式进行积分运算,其调用方式如下。; T: m, O4 f( S1 l/ ?; R
polyint(p, k):返回以向量p为系数的多项式的积分,积分的常数项为k。3 t) }4 J( `! S7 z( ~6 X8 i- `. h
polyint(p):返回以向量p为系数的多项式的积分,积分的常数项为默认值0。# f# h I( l1 }. b6 }; H
【例5-9】 对多项式 进行积分运算,其常数项分别为3和0,其实现的MATLAB程序代码如下:) V J) p, t( \9 H' a$ M `* ^/ N
3 I- n7 L% z/ d
p1=[3 2 2]; M" @, ~( C8 b9 o) e: C
y1=polyint(p1,3); %对多项式p1进行积分,常数项为3
* g9 b% e5 \( B# S9 x: A4 Ky1=poly2sym(y1)
- G# T* l) `, U. j( c, [6 h cy2=polyint(p1); %对多项式p1进行积分,常数项为0; b$ g, j6 g2 B- B; @$ S
y2=poly2sym(y2)3 s6 F k+ [+ }6 f
* w0 Q+ U# z2 M1 j& O& n3 ^0 _运行程序后,输出结果如下: ^ L# k6 M- D+ N+ b
7 \0 ]6 E/ ]( J+ d0 A: H
y1 =( ]8 r: t& P+ U' V8 u8 N
x^3 + x^2 + 2*x + 3
2 [$ K. w' s4 x1 Ry2 =' q8 V, Q1 Q4 a# U) z0 ?7 m0 x
x^3 + x^2 + 2*x, }! l7 \3 z% c0 x! w
' o# Q+ ^ {! z8 i7 ]3 y: l$ F通过polyint()函数对多项式进行积分运算,积分的常数项通过参数k进行设置。如果不对参数k进行设置,则k取默认值0。" K/ V/ Z6 N7 r. J
5.1.5 多项式展开* M O1 G j! G. L
在MATLAB中,有理多项式用它们的分子多项式和分母多项式进行表示,函数residue()可以将多项式之比用部分分式展开,也可以将一个部分分式用多项式之比进行表示。函数residue()的调用方式如下。9 t2 ^2 L% d& N) ?
[r, p, k]=residue(b, a):求多项式之比b/a的部分分式展开,函数的返回值r是余数,p是部分分式的极点,k是常数项。如果多项式a没有重根,部分分式展开的形式如下:8 A0 N* Z4 F s4 M( i' k
- M* y5 K$ d' }, \2 z
其中向量r、p的长度和向量a、b的长度有如下关系:8 X# S) |( b) l# c" s$ \8 _; e. x
p1 q% Y' D! i1 M! S# E
当向量b的长度小于a时,向量k中没有元素,否则应满足:
" k& c i; s6 h* Q, p% c 5 ~8 g5 F1 J3 K _
[b, a]=residue(r, p, k):通过部分分式得到多项式,该多项式的形式为b/a。
' G9 r% | D; n0 w3 N) `【例5-10】 将多项式 和 展开成几个简单多项式的和。其实现的MATLAB代码如下:: M- R) J4 z- ^7 C* Z7 i' p
3 j5 n6 p) l8 m u- s* J3 V" k
>> clear all;- l; J8 t, s( c+ l7 D( X- Y
clear all;
5 d7 @" ?& Y9 n% X: S: m0 hb=[1 -1 -7 -1]; %分子多项式
& R( w; e' G2 y! E5 g& b2 @a=poly([1;5;6]); %分母多项式( B9 I4 H6 I2 _0 x4 F% w$ D
[r,p,k]=residue(b,a) %进行多项式b/a展开
$ e T- J+ K. V" v5 O[b1,a1]=residue(r,p,k); %通过余数、极点和常数项来求多项式b1/a1
/ k2 {* w: D* O6 p+ ab1=poly2sym(b1)
- s ~& m/ s, }5 B% M* q4 y xa1=poly2sym(a1)
( O" r# k7 i' k0 w; ~( mb=[1 -1 -7 -1]; %多项式a有三重根: ?: h- R Z H
a=poly([1;1;1]); %分母多项式* W1 D# I3 E; e; ?! l0 N6 q
[r,p,k]=residue(b,a) %展开多项式b/a
5 d! r3 r) Z) T/ U
2 a; c9 M! L: v/ ]. X9 L运行程序后,输出结果如下:9 ~8 F r8 {! @9 v# z8 D
- m9 v% @% V Z2 sr =
6 k, C7 X7 T4 @- f0 z 27.40006 V- G' o* d4 a8 M/ A* G9 \
-16.0000
n5 ^ \3 T6 s$ v; n2 e -0.4000
/ m( G3 X4 n/ Jp =( U3 e1 D% @ a6 {+ n1 ]) W0 X8 b
6.0000" _# D3 O! x$ p4 X) _% X+ d4 I5 l G
5.0000
S- ^* g7 ^+ l1 m/ {* L: } 1.0000
; w& [+ Y7 ?% p1 t2 q tk =! l. {/ `) O; C( B( F& J; h
10 K% m9 S+ r0 q* s$ a) L
b1 =* c% G4 @+ @: ~ Y" ^' ]* d
x^3 - x^2 - 7*x - 1
0 X3 A9 l/ ~+ s# _a1 =, [8 H. m" |, O( {2 X" @5 U! a
x^3 - 12*x^2 + 41*x - 30
2 I+ T7 o* a& z1 T, c# @5 ?r =. W- {, |$ e8 U- E# `* v5 ^
2.0000( j+ E- ^* p* }* V
-6.0000& c6 S2 C. @. p% Y" A
-8.00006 \6 |& f* p3 I' A4 b& w/ y* ~% r
p =1 H; I5 \9 H3 K
1.0000' w; k# z; n+ x
1.0000- [: X! l6 P% q9 `6 l6 r
1.0000
2 Q: R) q1 A! x' L9 ?" | \0 |* Dk =3 z4 ?8 O. y" P4 v7 [" u' Z" F
1
3 m% i" u$ D5 e3 ?5 K/ C& H7 b7 i3 P% B
利用函数[r, p, k]=residue(b, a)将多项式b/a进行展开,结果为余数、极点和常数项。对该多项式进行展开后的结果如下:
) Y9 F# I& v" J& n* h" K 将余数、极点和常数项带入函数[b, a]=residue(r, p, k)中,可以求得对应的多项式,并通过b/a的形式给出。
" H3 _% \9 e8 r' z) G; ]当多项式a有三重根1时,对多项式进行展开后的结果如下:/ }; D8 F& M% U3 O+ p, J! A, V X
$ q# o4 B" ~. O7 n b
, U7 M; r8 R, h' w2 q6 w/ ], U7 a0 I b6 s: a, z ^- m% j5 R% [
) }0 z: ^( j) S9 B
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