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本帖最后由 lili456 于 2012-5-28 11:31 编辑 % C4 I Z7 G- \$ ^& z
6 A% x1 o7 ~; Z* e! d \2 r5.1.3 多项式乘法和除法
' T7 c: k$ d! t _; h9 l4 n在MATLAB中,使用函数conv()对多项式进行乘法运算。其调用格式为c=conv(a, b),a和b为多项式的系数向量,该函数实现向量a和b的卷积,在代数上相当于多项式a乘以多项式b,其中c为相乘所产生的多项式的系数向量。
. m) x& ]" I" E* q- x$ I【例5-6】 求多项式 和 的乘积。采用函数conv()实现,其MATLAB程序如下:
8 [3 f* h9 J; E5 ]3 {' y) _9 M v2 l# e6 n* t4 e9 x8 g+ m
p1=[4 2 0 5]; %缺少的幂次用0补齐6 }, X5 a R3 {; F" w/ O
p2=[5 8 1];/ X* [3 {& D6 O/ g7 r4 q
y1=poly2sym(p1)
2 J* E; |% h3 h9 ty2=poly2sym(p2)$ i" d( o) o9 q1 Y) l5 z8 y9 X
p3=conv(p1,p2); %多项式相乘
7 [2 a( ]) w" E9 o( v* t0 zy=poly2sym(p3)
9 C$ |2 C! z; M1 h7 P" x9 b/ G$ R# N1 ?+ P% g Y0 X+ h
运行程序后,输出结果如下:7 i1 I4 p9 s) ^0 b5 B
1 v$ g8 a/ v* e: py1 = I2 s9 Z6 ]% c0 B: Y6 l
4*x^3+2*x^2+58 E! x1 p5 M" E; K, s; {
y2 =
& B7 l" ]$ f2 c$ o2 C+ e1 ^5*x^2+8*x+1: J- R# T, A: h4 z
y =: p- P+ T. Z! S* U: y* j7 h
20*x^5+42*x^4+20*x^3+27*x^2+40*x+51 B/ ?, |! n: O( L6 \. H
n+ u8 N" O( L! n! h
在MATLAB中,采用poly2sym()函数将向量作为多项式的系数进行输出,和其相对应的函数是sym2poly(),该函数将输入多项式的系数提取出来,作为向量进行输出。对于例5-6程序也可以用poly2sym()函数实现(和例5-6的计算结果相同),其MATLAB程序如下:
% m) F; G& B1 q" `
5 \0 @$ F8 X( Y2 R: y5 C>> syms x* e4 t$ `6 ^( ?3 g7 _5 B0 Y
p1=sym2poly(4*x^3+2*x^2+5)2 A. i3 C H$ ]
p2=sym2poly(5*x^2+8*x+1)
/ \$ z& v$ U. E4 Hp3=conv(p1,p2); %多项式相乘
/ h/ i9 T+ P# ^3 b: _9 W5 o0 Gy=poly2sym(p3)
8 _( [6 Y$ x4 ~
9 u' L0 J- r' d运行程序后,输出结果如下:
6 P7 @4 M7 e5 I
% s t ^6 T: j/ \$ I! Pp1 =7 z0 ?7 D( F+ u7 l. P. l$ K
4 2 0 5
3 i; H' N8 i) Z3 zp2 =
, N& I3 z9 z! a) w* ?- l9 \1 u 5 8 1
8 q+ W& z; `6 X* sy =& P3 d; p; j v& u x' j0 |* {
20*x^5+42*x^4+20*x^3+27*x^2+40*x+5
, q- Y# l5 a5 {2 u; ]! f% G
% s& N5 Q; B( l* [在MATLAB中,使用函数deconv()对多项式进行除法运算。其调用格式为[q, r] = deconv(a, b),实现解卷积运算。其中a和b为多项式的系数向量,在代数上相当于多项式a除以b,得到的商为q和余多项式r,它们之间的关系为a = conv(b, q) + r。
2 [- ~9 X2 {. \) D- e4 `- c【例5-7】 求多项式 除以多项式 的商和余数,代码如下:. ~/ r7 M( S' q% a) C) D) K& W
7 M8 @$ P8 r* E. D. i1 P3 n. I
>> p1=[4 3 8 1 4];
6 J3 c( Y+ H; ?. J( b# Ep2=[2 3 1];
) q; m3 |- O+ p5 a[q,r]=deconv(p1,p2); %多项式p1除以p2: r( s( _0 e6 f
y1=poly2sym(q) %商
' ]3 @( y* p3 M* F4 I8 hy2=poly2sym(r) %余数+ A; M$ a" @( ?( S- q9 \! V
' a- s5 B+ c2 v: o& z+ W运行程序后,输出结果如下:# }: u E1 L- y1 M" D U& E4 a% G- Q
# R, A% | ^/ M' h) r
y1 =
x/ L! q! ]1 ~2*x^2-3/2*x+21/4
1 W; c& O; P( c( }0 R& b! O! k, }y2 =" s; {! p% x t+ H1 I" w P+ t
-53/4*x-5/4
6 E' l7 x( G4 B3 R$ t7 v/ S- o9 S; B/ L/ ^8 k
5.1.4 多项式的导数和积分; k* H( t, I5 o+ f2 p# |
在MATLAB中,通过函数polyder()和polyint()分别对多项式进行求导和积分。求导和积分互为逆运算,如果先对多项式进行积分,然后再求导,结果仍然为原来的多项式。下面对多项式的求导和积分分别进行讲解。0 i T7 j7 O' _1 d1 v5 y$ v7 v+ F
1.多项式的导数. R. @1 J" @2 f; `' _
在MATLAB中,采用函数polyder()进行多项式的求导,调用方式如下。0 Q5 R+ \. r& u9 v
y=polyder(p):对以向量p为系数的多项式求导。
; u9 H2 ~$ x5 E y=polyder(a, b):对以a和b为系数的多项式乘积进行求导。* j5 _$ U! C' u8 c2 n8 D9 ~6 h
[q,d]=polyder(b, a):返回以b为系数的多项式除以以a为系数的多项式的商的导数,并以q/d格式表示。+ }6 j" [2 v, Z0 v2 K3 a
【例5-8】 对多项式求导,其MATLAB程序如下:
/ V6 H; P5 b4 ^
; A0 t5 m1 w2 c>> p1=[4 3 2];
1 e/ @0 z3 F' C& g& F" |p2=[2 2 1];3 \* R* }; ]; U4 R" ]8 L2 `4 y
y1=polyder(p1); %对多项式p1求导
% b9 S a6 ~$ p& x9 n/ gy1=poly2sym(y1)+ D1 s- Q/ h2 y8 j9 P' o
y2=polyder(p1,p2); %对多项式p1和p2的乘积求导
5 U: i. `. i/ p/ {% N4 Uy2=poly2sym(y2)
( G4 j# P# k8 w2 i2 d4 |6 N" [- `[q,d]=polyder(p1,p2); %对多项式p1除以p2的商求导
5 U L; l9 B r; Y5 O4 q1 Rq=poly2sym(q)
3 R7 O+ o( r8 k7 e }1 Xd=poly2sym(d)1 A W5 r$ \ f7 c! |0 D
c3 F' w. e2 r+ r$ ] q运行程序后,输出结果如下:& n& T' a- v8 D. g8 E
' C3 _: g8 ?5 ], |9 R
y1 =: t" W4 I' c, W% |9 [+ m* w
8*x + 33 b; p6 h i* j/ w
y2 =% V& |& [" C0 M( }+ h6 l3 y
32*x^3 + 42*x^2 + 28*x + 7
3 a0 a7 N9 a7 m. b: ^2 E7 t1 L; Z0 p% Yq =
! C0 @7 `% |$ o2*x^2 - 1
' e/ A9 B" s" V1 s7 o( d$ [5 Ld =
9 T7 r0 @) T4 G" `8 ~3 a1 m! p' e4*x^4 + 8*x^3 + 8*x^2 + 4*x + 1
) X; _4 l, y1 B2 a1 H; C. {0 f6 C' w+ i( \" V
在MATLAB中,通过函数polyder()对多项式进行求导,通过对输入参数和输出参数个数的不同,对相对应的多项式进行求导计算。对于函数[q,d]=polyder(b, a),相当于对多项式 求导,结果为 。% b/ L; D: u% U% q4 x+ ?7 U
2.多项式的积分
0 w& G3 }* K# P5 S; @在MATLAB中,使用函数polyint()对多项式进行积分运算,其调用方式如下。- a1 v! A- l! B4 r* z8 W0 F# ]2 n7 y
polyint(p, k):返回以向量p为系数的多项式的积分,积分的常数项为k。
% G* U" f$ X7 L9 R& I polyint(p):返回以向量p为系数的多项式的积分,积分的常数项为默认值0。6 v: N3 K+ |% v0 `
【例5-9】 对多项式 进行积分运算,其常数项分别为3和0,其实现的MATLAB程序代码如下:5 {/ g0 H: O% X4 H/ e" ^4 d
' [5 x0 }6 X" w! x5 N
p1=[3 2 2];& d/ f, _, w$ F. o: {
y1=polyint(p1,3); %对多项式p1进行积分,常数项为3
& R0 @7 c/ U6 [6 Sy1=poly2sym(y1)
$ |; F0 y5 q9 G: n" t3 n5 T0 Uy2=polyint(p1); %对多项式p1进行积分,常数项为0
' F, a% }% z* s. f9 `, s8 Ly2=poly2sym(y2)8 v$ \ O4 N0 B {" F
5 [/ @2 ^3 Z" x
运行程序后,输出结果如下:
) h- p4 ?( N* j% w: ]- S+ Z
7 \: B* C( a+ f, }' ~$ E5 [y1 =! u9 F) ]- R# ^% a# |
x^3 + x^2 + 2*x + 3
9 I" P6 H j5 H/ ^y2 =6 P' d0 N: @5 B, ]* x+ Q8 Z$ T
x^3 + x^2 + 2*x
7 G# Y/ l& n3 b; y
3 ^; n. S9 r- T, D! m6 i5 ^7 `通过polyint()函数对多项式进行积分运算,积分的常数项通过参数k进行设置。如果不对参数k进行设置,则k取默认值0。
5 Q% i+ u# s3 E5.1.5 多项式展开& I C. N1 t- v
在MATLAB中,有理多项式用它们的分子多项式和分母多项式进行表示,函数residue()可以将多项式之比用部分分式展开,也可以将一个部分分式用多项式之比进行表示。函数residue()的调用方式如下。
; v8 H6 Y! q9 }' o/ `" H: L( W [r, p, k]=residue(b, a):求多项式之比b/a的部分分式展开,函数的返回值r是余数,p是部分分式的极点,k是常数项。如果多项式a没有重根,部分分式展开的形式如下:
9 C0 D7 o( b, P4 u 9 I" d! w9 Y. k( {* f, }! k# c
其中向量r、p的长度和向量a、b的长度有如下关系:4 a. M1 z; H: P
9 J4 Z* z- Y: q* o- Q, y7 u
当向量b的长度小于a时,向量k中没有元素,否则应满足:
2 _! @( P2 T* h0 O% N4 D
. |' x) v0 `4 f0 t+ R- M [b, a]=residue(r, p, k):通过部分分式得到多项式,该多项式的形式为b/a。
% k# i4 a7 E# x. x2 i. y【例5-10】 将多项式 和 展开成几个简单多项式的和。其实现的MATLAB代码如下:
1 v; s; r/ c1 z$ a& C- s+ m3 I, T& `! M) A2 Q) `
>> clear all;' ]( _, W7 A: g# Q: |5 B3 f" v# U
clear all;% L- |$ b1 W* P! g8 F6 I
b=[1 -1 -7 -1]; %分子多项式
$ F" }1 W d# ~# k* ya=poly([1;5;6]); %分母多项式
1 |' B/ |# m# a4 H0 W[r,p,k]=residue(b,a) %进行多项式b/a展开% ~( d. Q" S# L7 w0 o9 N/ I
[b1,a1]=residue(r,p,k); %通过余数、极点和常数项来求多项式b1/a14 V! l' |! ~6 V, \
b1=poly2sym(b1)
* {- U3 h k2 Y: |5 ^9 }+ p! L" M; Ea1=poly2sym(a1)
4 d. [ s5 d- _% c( Ib=[1 -1 -7 -1]; %多项式a有三重根( G5 `. q9 Z; n5 \: }; g
a=poly([1;1;1]); %分母多项式
0 j. K A2 R- x. d" g. ][r,p,k]=residue(b,a) %展开多项式b/a
+ i P4 X5 T6 U" E* p$ x1 r' W/ o: |
6 V) Z5 b k- x6 W, U/ y运行程序后,输出结果如下:* `2 p3 @5 H5 @# P9 T
' {0 i; g. P0 k7 e/ [. q
r =
% `3 V% k. g; T5 \ 27.4000
7 {/ I: k% f; T -16.0000- S- Q+ v j0 l% O) o
-0.4000' h- [8 C# C' n# I; y
p =7 G9 _8 i1 W1 C
6.0000" H! }9 n$ E! y/ ?2 A; W- `3 p/ `
5.00009 a4 G U9 M- h$ ?# ^$ m7 D) P
1.0000
2 l& g- f3 E4 e, g1 C9 L3 rk =8 ]6 l0 i, E- R! t+ }) E
1 b/ o0 [1 ^) L* m4 G
b1 =
6 h" o% p: ]% k, B" W, Ex^3 - x^2 - 7*x - 11 h/ l' x% @: V* |) T
a1 =& y9 V" P% n) Y
x^3 - 12*x^2 + 41*x - 30
5 P0 c6 D2 f3 r+ v8 Y& _# Jr =
! o$ ], H d% ]$ Z# _" c; l2 U 2.0000
' [! _7 D1 C6 i3 w: `5 b/ E w% S -6.00000 T4 U4 |! B6 [5 e& ?' g, D" d5 ]
-8.0000" V. Q2 q8 n0 H! N7 W
p =+ y1 b; Y8 j. ]
1.0000
- r0 ?" j6 r0 T/ n 1.0000& r! `, M' \3 A5 u! b: T( H
1.00000 E+ \4 @' n* q9 `# Z1 P) p
k =
+ _) E. J9 }2 h4 H1 Y3 a! z4 Y 1: r- Z! h, W9 H: j
4 _) e0 I% a/ |4 J$ p
利用函数[r, p, k]=residue(b, a)将多项式b/a进行展开,结果为余数、极点和常数项。对该多项式进行展开后的结果如下:4 O0 J Y. r- E0 \- \
将余数、极点和常数项带入函数[b, a]=residue(r, p, k)中,可以求得对应的多项式,并通过b/a的形式给出。% S$ W' ~# @9 r
当多项式a有三重根1时,对多项式进行展开后的结果如下:
4 b2 L3 Z) W# i; f6 b% h" Y! A' x0 p
6 z0 ?* j3 Z, ^' o# g M% G7 c! q/ }% c6 b" N8 R, X& q
5 F% q L: |, X% M- H# [ _# J
' {0 u3 p- v9 c4 \. E% [9 v |
|